※大人の事情で以前削除した、個人的なメモ書きの再掲です。参考になれば……

概要

MDPのベルマン方程式

V\left ( s \right ) = \min_{a} \left \{ \ell \left ( s, a \right ) + \sum_{s^{\prime}} p \left ( s^{\prime} | s, a \right ) V \left (  s^{\prime} \right ) \right \}

から、線形ベルマン方程式

z(s) =  \exp \Bigl( - q\left ( s \right ) \Bigr)  \sum_{s^{\prime}} \bar{p}\left ( s^{\prime} | s \right ) z(s^{\prime})

を導出

マルコフ決定過程(MDP)

MDPにおけるベルマン方程式

通常のMDPでは

状態集合$S$に属する状態$s$における状態価値関数$V(s)$
状態$s$で行動集合Aに属する行動$a$を実行することで得るコスト$\ell (s,a)$
状態$s$で行動$a$を実行して次状態$s^{\prime}$に遷移する状態遷移確率$p \left ( s^{\prime} | s, a \right ) $

を用いた、次のベルマン方程式を（価値反復法などによって）解きます。

V\left ( s \right ) = \min_{a} \left \{ \ell \left ( s, a \right ) + \sum_{s^{\prime}} p \left ( s^{\prime} | s, a \right ) V \left (  s^{\prime} \right ) \right \}

min邪魔問題

このベルマン方程式でV(s)を計算するためには、$\min_a$、すなわち、｛｝の中身が最小となるような行動$a$を探して計算することを繰り返し行うしかない。
普通見かけるベルマン方程式は$\max$が使われていると思いますが、今回は報酬$r$の代わりにコスト$\ell$で表現していて、$\ell$は$r$の符号を反転させたもの、すなわち$\ell(s,a) = - r(s,a)$です。コストはなるべく小さくしたいので、$\min$。

線形可解マルコフ決定過程(LMDP)

線形可解マルコフ決定過程( Linearly-solvable MDP; LMDP) とは、エマヌエル・トドロフ（アメリカ）によって提案されたマルコフ決定過程の亜種です。別名を**カルバック・ライブラー制御(KL制御)**ともいいます。以下、主にトドロフの論文(PDF)に従う形で解説します。

行動aから制御uへ

まず、行動$a$を、制御$\mathbf{u}$というベクトルで置き換えます。行動$a$が「上・下・左・右」のような抽象的な概念だったのに対し、このベクトルは、$\mathbf{u} \in \mathbb{R}^{|S|}$、状態sの数の大きさを持つ、実数値のベクトルです。状態$s$における$\mathbf{u}$である$\mathbf{u}_s$を

\mathbf{u}_s = u(s^{\prime}|s)

として定義します。$\mathbf{u}_s$は全状態$s$の数だけあるベクトルです。例えば、$3 \times 3$のグリッドワールドなら9個の要素を持ちます。

2つの仮定

LMDPでは、2つの大きな仮定を置きます。

1.状態遷移確率の定義

MDPで、

状態遷移確率$p \left ( s^{\prime} | s, a \right ) $

を定義しましたが、LMDPでは「行動$a$」$\rightarrow$「状態$s$についての制御$\mathbf{u}_s$」に変えた、

状態遷移確率$p ( s^{\prime} | s, \mathbf{u}_s ) $

を、次の式で定義します。

p\left ( s^{\prime} | s, \mathbf{u}_s \right ) = \bar{p}\left ( s^{\prime} | s \right ) \exp \left ( \mathbf{u}_s \right )

ここで、$\bar{p}$は、「uncontrolled probability」（非制御遷移確率）とか「passive dynamics」（受動ダイナミクス）とか呼ばれる**「制御をしないときの、もともとの状態遷移確率」**です。LMDPでは、状態遷移確率を、「もともとの遷移確率が、制御を実行することで変化したもの」と捉えるのです。

もちろん、もともと遷移しない組み合わせ、すなわち$ \bar{p}\left ( s^{\prime} | s \right )=0$ならば$p\left ( s^{\prime} | s, \mathbf{u}_s \right ) =0$です。

2. コスト関数の定義

LMDPでは、コスト関数$\ell(s,\mathbf{u}_s)$を、次の式で定義します。

\ell \left ( s, \mathbf{u}_s \right ) = q\left ( s \right ) + D_{\rm{KL}} \Bigl (  p\left ( s^{\prime} | s, \mathbf{u}_s \right ) \Bigl|\Bigr| \bar{p}\left ( s^{\prime} | s \right ) \Bigr )

第一項の$q(s)$は、制御によらず、ある状態に到達した時点で受け取る状態そのもののコストで、「状態依存のコスト」といいます。
第二項は、制御の入った遷移確率$p$と、制御が入っていないときの遷移確率$\bar{p}$のカルバック・ライブラーダイバージェンスです。つまり、$p$と$\bar{p}$の確率分布の差を表しており、制御によって大きく変えられるほど、この項の数値は大きくなります。無茶な遷移をしようとするほど大きくなるので、そういう遷移を選択しないようにする効果があるようです。
カルバック・ライブラーダイバージェンスの定義

D _ { \mathrm { KL } } ( P \| Q ) = \sum _ { i } P ( i ) \log \frac { P ( i ) } { Q ( i ) }

から

\ell \left ( s, \mathbf{u}_s \right )  = q\left ( s \right ) + \sum_{s^{\prime}: \bar{p}(s^{\prime}|s) \neq 0} p \left (  s^{\prime} | s, \mathbf{u}_s \right ) \log  \frac{p \left (  s^{\prime} | s, \mathbf{u}_s \right )}{\bar{p}(s^{\prime}|s)}

となります。

ここで、状態遷移確率の定義

p\left ( s^{\prime} | s, \mathbf{u}_s \right ) = \bar{p}\left ( s^{\prime} | s \right ) \exp \left ( \mathbf{u}_s \right )

から、式変形して両辺のlogをとると

\mathbf{u}_s = \log \frac{ p\left ( s^{\prime} | s, \mathbf{u}_s \right ) }{ \bar{p}\left ( s^{\prime} | s \right ) }

となるので、これをコスト関数の定義の式に代入すると、

\ell \left ( s, \mathbf{u}_s \right )  = q\left ( s \right ) + \sum_{s^{\prime}} p \left (  s^{\prime} | s, \mathbf{u}_s \right ) \mathbf{u}_s

と変形できます。

打倒min　～minが邪魔なら中身を予めminしてしまえ～

さて、冒頭のベルマン方程式

V\left ( s \right ) = \min_{a} \left \{ \ell \left ( s, a \right ) + \sum_{s^{\prime}} p \left ( s^{\prime} | s, a \right ) V \left (  s^{\prime} \right ) \right \}

を、行動$a$を制御$\mathbf{u}_s$にした上で、先程の定義

\begin{align}
p\left ( s^{\prime} | s, \mathbf{u}_s \right ) &= \bar{p}\left ( s^{\prime} | s \right ) \exp \left ( \mathbf{u}_s \right ) \\
\ell \left ( s, \mathbf{u}_s \right )  &= q\left ( s \right ) + \sum_{s^{\prime}} p \left (  s^{\prime} | s, \mathbf{u}_s \right ) \mathbf{u}_s
\end{align}

を代入すると、

\begin{align}
V\left ( s \right ) &=& \min_{\mathbf{u}_s} \left \{ q\left ( s \right ) + \sum_{s^{\prime}} p \left (  s^{\prime} | s, \mathbf{u}_s \right ) \mathbf{u}_s + \sum_{s^{\prime}} p \left ( s^{\prime} | s, \mathbf{u}_s \right ) V \left (  s^{\prime} \right ) \right \} \nonumber \\
&=& \min_{\mathbf{u}_s} \left \{ q\left ( s \right ) + \sum_{s^{\prime}} p \left (  s^{\prime} | s, \mathbf{u}_s \right ) \Bigl( \mathbf{u}_s + V \left (  s^{\prime} \right ) \Bigr) \right \} \nonumber \\
&=& \min_{\mathbf{u}_s} \left \{ q\left ( s \right ) + \sum_{s^{\prime}} \bar{p}\left ( s^{\prime} | s \right ) \exp \left ( \mathbf{u}_s \right ) \Bigl( \mathbf{u}_s + V \left (  s^{\prime} \right ) \Bigr) \right \} 
\end{align}

のように変形できます。
ここで、例の邪魔な$\min$の中身を見てみると、$q(s)$は制御に関係ないのでスルーでき、後半の

\sum_{s^{\prime}} \bar{p}\left ( s^{\prime} | s \right ) \exp \left ( \mathbf{u}_s \right ) \Bigl( \mathbf{u}_s + V \left (  s^{\prime} \right ) \Bigr)

を、$u$について最小化していることになります。これを数学的に最小化してしまえばいいじゃないか！

ラグランジュの未定乗数法による攻略

ここで、極値の候補を求めることができる「ラグランジュの未定乗数法」を用います。

まず、極値をみつけたい関数$f(x)$と制約条件$g(x)$で、ラグランジュ関数$L$をつくります。

L(x, \lambda) = f(x) - \lambda g(x)

このとき、Lのxについての偏微分と、Lのλについての偏微分がともに「0」になるような、つまり

\frac{\partial L}{\partial x}   = 0 \\
\frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0

となる$x$が極値の候補なのです。

今回、$f(x)$にあたるのが

\sum_{s^{\prime}} \bar{p}\left ( s^{\prime} | s \right ) \exp \left ( \mathbf{u}_s \right ) \Bigl( \mathbf{u}_s + V \left (  s^{\prime} \right ) \Bigr)

です。

また、制約条件$g(x)$には、状態遷移確率$p$は確率なので、全部足すと1になること、つまり

\sum_{s^{\prime}} p\left ( s^{\prime} | s, \mathbf{u}_s \right ) =1

を、状態遷移確率の定義から変形して

\sum_{s^{\prime}} \bar{p}\left ( s^{\prime} | s \right ) \exp \left ( \mathbf{u}_s \right )  = 1

として用います（式に代入するときは=0の形にします）。

こうして、次のラグランジュ関数を作り出すことができます。

\mathcal{L} \Bigl( \mathbf{u}_s, \lambda_s \Bigr)= \sum_{s^{\prime}} \bar{p}\left ( s^{\prime} | s \right ) \exp \left ( \mathbf{u}_s \right ) \Bigl( \mathbf{u}_s + V \left (  s^{\prime} \right ) \Bigr) + \lambda_s \Bigl( \sum_{s^{\prime}} \bar{p}\left ( s^{\prime} | s \right ) \exp \left ( \mathbf{u}_s \right ) - 1 \Bigr)

これを解きましょう！

ラグランジュ関数の偏微分を求めよう

uについての偏微分

\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{u}_s} = \bar{p}\left ( s^{\prime} | s \right ) \exp \left ( \mathbf{u}_s \right ) \Bigl( \mathbf{u}_s + V \left (  s^{\prime} \right ) \Bigr)

$\bar{p} (s^{\prime}|s) \neq 0$のとき，$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{u}_s}=0$を満たす唯一の解は

\mathbf{u}_s + V(s^{\prime})+\lambda_s + 1 = 0

であり，ゆえに

\mathbf{u}_s = - V(s^{\prime}) - \lambda_s - 1

です。
このときの$\mathbf{u}_s=\mathbf{u}^{*}_s$とします。

$\bar{p} (s^{\prime}|s) > 0$かつ

\exp \left ( \mathbf{u}^{*}_s \right ) > 0

なので、二階偏導関数は

\left. \frac{ {\partial}^2 \mathcal{L} } {\partial \mathbf{u}_s \partial \mathbf{u}_s} \right|_{\mathbf{u}_s = \mathbf{u}^{*}_s} = \bar{p}(s^{\prime}|s) \exp \left ( \mathbf{u}^{*}_s \right ) > 0

となります。つまり、$\mathbf{u}^{*}_s$において極小なのです！

λについての偏微分

次に、$\lambda_s$についての偏微分を求めましょう。

\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda_s}=\sum_{s^{\prime}} \bar{p}\left ( s^{\prime} | s \right ) \exp \left ( \mathbf{u}_s \right ) - 1=0

なので、uについての偏微分の項目で求めた式を変形して

\begin{align}
&\mathbf{u}_s + V(s^{\prime})+\lambda_s + 1 = 0 \\
&\mathbf{u}_s = - V(s^{\prime})-\lambda_s - 1
\end{align}

として、先程のλについての式に代入してあげると、

\begin{align}
\sum_{s^{\prime}} \bar{p}\left ( s^{\prime} | s \right ) \exp \left \{  - V(s^{\prime}) - \lambda_s - 1 \right \} - 1 &= 0 \nonumber \\
\sum_{s^{\prime}} \bar{p}\left ( s^{\prime} | s \right ) \exp \left \{  - V(s^{\prime}) \right \} \exp (  - \lambda_s - 1  ) &= 1 \nonumber \\
\sum_{s^{\prime}} \bar{p}\left ( s^{\prime} | s \right ) \exp \left \{  - V(s^{\prime}) \right \}  &= \exp ( \lambda_s + 1 ) \\
\log \Bigl( \sum_{s^{\prime}} \bar{p}\left ( s^{\prime} | s \right ) \exp \left \{  - V(s^{\prime}) \right \} \Bigr)  &= \lambda_s + 1 \\
\lambda_s  &= \log \Bigl( \sum_{s^{\prime}} \bar{p}\left ( s^{\prime} | s \right ) \exp \left \{  - V(s^{\prime}) \right \} \Bigr)  - 1
\end{align}

と、$\lambda_s$が求まります。

これを、$\mathbf{u}^{*}_s$の式

\mathbf{u}^{*}_s = - V(s^{\prime})-\lambda_s - 1

に代入してあげると、

\mathbf{u}^{*}_s = - V(s^{\prime}) -  \log \Bigl( \sum_{s^{\prime}} \bar{p}\left ( s^{\prime} | s \right ) \exp \left \{  - V(s^{\prime}) \right \} \Bigr)

を得ます。

線形ベルマン方程式の導出

min邪魔問題の突破

最小化したかったのは、

\sum_{s^{\prime}} \bar{p}\left ( s^{\prime} | s \right ) \exp \left ( \mathbf{u}_s \right ) \Bigl( \mathbf{u}_s + V \left (  s^{\prime} \right ) \Bigr)

でしたね。$\mathbf{u}^{*}_s$のとき、この項は

\sum_{s^{\prime}} \bar{p}\left ( s^{\prime} | s \right ) \exp \left ( \mathbf{u}^{*}_s \right ) \Bigl( \mathbf{u}^{*}_s + V \left (  s^{\prime} \right ) \Bigr) \nonumber

となります。
このとき、$\mathbf{u}^{*}_s$で極小なので、例のベルマン方程式

V\left ( s \right ) =\min_{\mathbf{u}^{*}_s} \left \{ q\left ( s \right ) + \sum_{s^{\prime}} \bar{p}\left ( s^{\prime} | s \right ) \exp \left ( \mathbf{u}^{*}_s \right ) \Bigl( \mathbf{u}^{*}_s + V \left (  s^{\prime} \right ) \Bigr) \right \}

のうち、$\min$の中身を考えると、

第1項はそもそも「状態依存のコスト」なので$\mathbf{u}^{*}_s$に関係ない
第2項はラグランジュの未定乗数法で極小値であるとわかった

ので、$\mathbf{u}^{*}_s$のとき最小になります。

つまりminを外せます！！

V(s) =  q\left ( s \right ) + \sum_{s^{\prime}} \bar{p}\left ( s^{\prime} | s \right ) \exp \left ( \mathbf{u}^{*}_s \right ) \Bigl( \mathbf{u}^{*}_s + V \left (  s^{\prime} \right ) \Bigr)

min邪魔問題を突破しました。

線形ベルマン方程式への変形

さて、後少しです。ラグランジュの未定乗数法の制約条件に使った

\begin{align}
\sum_{s^{\prime}} p\left ( s^{\prime} | s, \mathbf{u}_s \right ) &=1 \\
\sum_{s^{\prime}} \bar{p}\left ( s^{\prime} | s \right ) \exp \left ( \mathbf{u}_s \right )  &= 1 
\end{align}

を先程の式に入れると

V(s) =  q\left ( s \right ) +  \Bigl( \mathbf{u}^{*}_s + V \left (  s^{\prime} \right ) \Bigr)

ラグランジュの未定乗数法で求めた

\mathbf{u}^{*}_s = - V(s^{\prime}) -  \log \Bigl( \sum_{s^{\prime}} \bar{p}\left ( s^{\prime} | s \right ) \exp \left \{  - V(s^{\prime}) \right \} \Bigr)

を代入して

\begin{align}
V(s) &=  q\left ( s \right ) +  \Bigl( \mathbf{u}^{*}_s + V \left (  s^{\prime} \right ) \Bigr) \\
&=  q\left ( s \right ) +  \Bigl( - V(s^{\prime}) -  \log \Bigl( \sum_{s^{\prime}} \bar{p}\left ( s^{\prime} | s \right ) \exp \left \{  - V(s^{\prime}) \right \} \Bigr) + V \left (  s^{\prime} \right ) \Bigr) \\
&=  q\left ( s \right )  -  \log \Bigl( \sum_{s^{\prime}} \bar{p}\left ( s^{\prime} | s \right ) \exp \left \{  - V(s^{\prime}) \right \} \Bigr)
\end{align}

最後に、両辺の指数をとって

\begin{align}
\exp \left ( - V(s) \right ) &=  \exp \Bigl( - q\left ( s \right ) +  \log \Bigl( \sum_{s^{\prime}} \bar{p}\left ( s^{\prime} | s \right ) \exp \left \{  - V(s^{\prime}) \right \} \Bigr) \Bigr) \\
\exp \left ( - V(s) \right ) &=  \exp \Bigl( - q\left ( s \right ) \Bigr)  \sum_{s^{\prime}} \bar{p}\left ( s^{\prime} | s \right ) \exp \left \{  - V(s^{\prime}) \right \}
\end{align}

ここで、$\exp \left ( - V(s) \right )$を、$z(s)$に置き換えた

z(s) =  \exp \Bigl( - q\left ( s \right ) \Bigr)  \sum_{s^{\prime}} \bar{p}\left ( s^{\prime} | s \right ) z(s^{\prime})

を、線形ベルマン方程式と呼びます。

$z(s)$を、desirability functionといい、日本語だと「好適度関数」などと訳されます。これは、今回$V(s)$がコスト（なるべく減らしたい）の期待値になっているので、この符号を反転させている$z(s)$は、増えれば増えるほどよい値となるためです。

さて、この線形ベルマン方程式を行列の形に書き換えてみましょう。

$\mathbf{G}$ : 状態数$\times$状態数の対角行列、対角成分$G(i,i)=\exp ( -q(i) )$
$\mathbf{\bar{P}}$ : 状態数$\times$状態数の行列、$\bar{P}(i,j)=\bar{p}(j|i)$
$\mathbf{Z}$ : 状態数の大きさのベクトル、$Z(i)=z(i)$

を定義したとき、線形ベルマン方程式は

\mathbf{Z} = \mathbf{G} \mathbf{\bar{P}} \mathbf{Z}

という式になります。

つまり、状態依存のコスト$q(s)$と、もともとの遷移確率$\bar{p}(s^{\prime}|s)$が予めわかっているなら、上の式で固有値$\mathbf{Z}$を求めれば良いだけです！

ちなみに、状態価値が知りたければ、$z(s)$を求めれば、$V(s)=-\log(z(s))$で計算できます。

なお、自分がよく理解できていないだけかもしれませんが、トドロフの論文では、固有値計算にべき乗法を紹介しています。どうやら固有値zは絶対値が最も大きな固有値のようです。
べき乗法を使うやり方では、k=0,1,2,......のとき$\mathbf{Z}_0 = 1$（全要素が1）として、

\mathbf{Z}_{k+1} = \mathbf{G} \mathbf{\bar{P}} \mathbf{Z}_{k}

を、$\mathbf{Z}_k$が収束するまで計算すればよいです。

最適状態遷移確率

$z(s)$が計算できれば、最適な状態遷移確率$p^{*}$は次の式で求められます。

p^{*} \left(s^{\prime} | s \right )= \frac{ \bar{p} \left ( s^{\prime}|s \right ) z(s^{\prime}) }{ \sum_{s^{\prime}} \bar{p} \left ( s^{\prime}|s \right ) z(s^{\prime}) }

MDPでいうところの最適方策$\pi^{*}$ですね。これで状態$s$における遷移先$s^{\prime}$を（確率的に）選択してやればよいわけです。結局$\mathbf{u}_s$は式変形以外に使わなくてよいのですね。

参考文献

原論文はこちらです。

・Todorov, E. (2007). "Linearly-solvable Markov decision problems." In Advances in neural information processing systems (pp. 1369-1376).

勉強する際に特に参考にしたもの。

・松原崇充(2015)「確率最適制御の最近の動向一確率推論による解法」システム／制御／情報・Vol．59　No．10　pp．369−374
・内部英治(2016)「線形可解マルコフ決定過程を用いた順・逆強化学習」日本神経回路学会誌・23巻1号
・鹿島久嗣(2007)「Linearly-solvable Markov decision problems / Emanuel Todorov (UCSD)」(ppt) 機械学習研究グループ T-PRIMAL