はじめに

レモン電池で豆電球がつかないという話を受けて，内部抵抗と負荷消費電力に関して簡単な考察を行った．

負荷抵抗と負荷消費電力

ここでは，電池の起電力 $E$，内部抵抗 $R_\mathrm{b}$，負荷抵抗 $R_\mathrm{l}$ のみが介在する，簡単な回路を考える．この負荷抵抗が豆電球だとすると，ここでの消費電力が大きいほど明るく光ることになる．この回路に流れる電流は，

I=\frac{E}{R_\mathrm{b}+R_\mathrm{l}},

だから，負荷での電圧降下 $V_\mathrm{l}$ は，

V_\mathrm{l}=IR_\mathrm{l}=\frac{R_\mathrm{l}E}{R_\mathrm{b}+R_\mathrm{l}},

となる．よって，負荷消費電力 $P_\mathrm{l}$ は，

P_\mathrm{l}=V_\mathrm{l}I=\frac{R_\mathrm{l}E^2}{(R_\mathrm{b}+R_\mathrm{l})^2},

となる．ここで，$R_\mathrm{l}=xR_\mathrm{b}$ とおいて整理すると，

P_\mathrm{l}=\frac{E^2}{R_\mathrm{b}}\cdot\frac{x}{(1+x)^2},

と書ける．定数 $E^2/R_\mathrm{b}$ で除したものを$x$について微分すると，

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{x}{(1+x)^2}=\frac{1-x}{(1+x)^3},

となり，$x=1$のとき，つまり$R_\mathrm{l}=R_\mathrm{b}$のときに最大となることが分かる．

通常，内部抵抗は十分小さいと考えられるから，負荷抵抗が小さいほど消費電力も大きくなるが，内部抵抗が負荷抵抗より大きい場合は，負荷抵抗を大きくしたほうが，負荷消費電力は大きくなるのである．このような場合，抵抗値の大きい，「暗い豆電球」のほうが明るくなる場合がある．ただし，抵抗器をつないでも，抵抗器で電力が消費されるようになるだけで，豆電球での電圧降下も電流も低下するので，より暗くなる．

また，上記は$R_\mathrm{b}$を固定して，$R_\mathrm{l}$を変数として見たときの話であり，$R_\mathrm{l}$を固定して$R_\mathrm{b}$を変数にした場合は，内部抵抗が小さいほど，負荷消費電力が大きくなる．

電池の直列つなぎと並列つなぎ

起電力と内部抵抗が同じ電池2つを直列につなぐと，電圧と抵抗はともに$2$倍になり，並列につなぐと，電圧はそのままで，抵抗は半分になる．このとき，直列につないだときの負荷消費電力$P_\mathrm{s}$と，並列につないだときの負荷消費電力$P_\mathrm{p}$は，それぞれ次のようになる．

P_\mathrm{s} =\frac{R_\mathrm{l}(2E)^2}{\left(2R_\mathrm{b}+R_\mathrm{l}\right)^2}=\frac{4R_\mathrm{l}E^2}{\left(2R_\mathrm{b}+R_\mathrm{l}\right)^2}, \\
P_\mathrm{p} =\frac{R_\mathrm{l}E^2}{\left(\frac{1}{2}R_\mathrm{b}+R_\mathrm{l}\right)^2} =\frac{4R_\mathrm{l}E^2}{\left(R_\mathrm{b}+2R_\mathrm{l}\right)^2}.

すなわち，$R_\mathrm{l}>R_\mathrm{b}$ のときは直列のほうが明るくなるが，$R_\mathrm{l}<R_\mathrm{b}$ のときは並列のほうが明るくなるのである．境界は負荷消費電力が最大となる $R_\mathrm{l}=R_\mathrm{b}$ の場合であり，このときは直列につないでも，並列につないでも，負荷消費電力は変わらない．