概要

　関数の微分・導関数に関する問題（高校数学）を Python で解いていきます。

問1

次の関数を微分せよ。

$$ y= (x^2-1)(2x^2 +x-3) $$

問1の解き方（参考）

\begin{align}
y' & = \{ (x^2-1)(2x^2 +x-3) \}' \\
& =  (x^2-1)'(2x^2 +x-3)  +  (x^2-1)(2x^2 +x-3)' \\
& = 2x(2x^2 +x-3) + (x^2-1)(4x+1) \\
& = 8x^3+3x^2-10x-1
\end{align}

問1の解を与えるPythonプログラム

sympy を利用して解きます。sympy は、記号計算（数式処理）のパッケージです。

diff で微分、expand で展開（括弧をとる）をしています。

Python

from sympy import diff, expand, Symbol
x = Symbol('x')
fx = (x**2-1)*(2*x**2+x-3)
ans = expand(diff(fx, x))
print(f'解：{ans}')

実行結果

解：8*x**3 + 3*x**2 - 10*x - 1

見づらいのですが数式表記すると $8x^3+3x^2-10x-1$ になります。環境によっては、あらかじめ init_printing() を書いておくことで見やすい形式で実行結果の出力が得られます。

ちなみに、expand を適用せずに ans = diff(fx, x) として解を表示すると次のようになります。

解：2*x*(2*x**2 + x - 3) + (4*x + 1)*(x**2 - 1)

$2x(2x^2 +x-3) + (4x+1)(x^2-1)$ のような形になります。

問2

次の関数を微分せよ。

$$ y= (x+1)^2(2x-3)^4 $$

問2の解き方（参考）

\begin{align}
y' & = \{ (x+1)^2(2x-3)^4 \}' \\
& = \{(x+1)^2\}'(2x-3)^4  +  (x+1)^2\{(2x-3)^4\}'  \\
& = 2(x+1)(x+1)'\cdot (2x-3)^4  +  (x+1)^2\cdot 4(2x-3)^3(2x-3)'  \\
& = 2(x+1)(2x-3)^4  +  8(x+1)^2(2x-3)^3  \\
& = 2(x+1)(2x-3)^3(6x+1)
\end{align}

問2の解を与えるPythonプログラム

上記に示したように、きれいにまとめるために factor で因数分解をしています。

Python

from sympy import diff, expand, factor, Symbol
x = Symbol('x')
fx = ((x+1)**2)*((2*x-3)**4)
ans = factor(diff(fx, x))
print(f'解：{ans}')

実行結果

解：2*(x + 1)*(2*x - 3)**3*(6*x + 1)

すこし見ずらいですが、$2(x+1)(2x-3)^3(6x+1)$ が求まっています。

もし、因数分解しないで展開した形で解が欲しい場合は、ans =expand(diff(fx, x)) とします。そのときの実行結果は次のようになります。

解：96*x**5 - 320*x**4 + 160*x**3 + 360*x**2 - 270*x - 54

$96x^5-320x^4+160x^3+360x^2-270x-54$ となります。