概要

　高次方程式に関する問題（高校数学）を Sympy で解いていきます。練習問題と解答例の作成支援を目的としています（教員向けものです）。

問1

$f(x)=x^3-1$ について、次の問いに答えよ。

(1) $f(2)$ の値を求めよ。
(2) $f(1)$ の値を求めよ。
(3) $f(x)=x^3-1$ を因数分解せよ。
(4) 方程式 $x^3-1=0$ の解を全て求めよ。

問1の解答を与えるPythonプログラム

sympy を使用して解決していきます。

Python

import sympy

x = sympy.Symbol('x')

fx = x**3 - 1

print(f'(1)の解答  ', end='' )
print(f'f(2)={fx.subs(x,2)}')

print(f'(2)の解答  ', end='' )
print(f'f(1)={fx.subs(x,1)}')

print(f'(3)の解答  ', end='' )
print(f'f(x)={sympy.factor(fx)}')

print(f'(4)の解答  ', end='' )
sol = sympy.solve(fx)
print(f'{sol}')

実行結果

(1)の解答  f(2)=7
(2)の解答  f(1)=0
(3)の解答  f(x)=(x - 1)*(x**2 + x + 1)
(4)の解答  [1, -1/2 - sqrt(3)*I/2, -1/2 + sqrt(3)*I/2]

問2

(1) $x^4-10x^3+35x^2-50x+24=0$ の解を全て求めよ。
(2) $x^4-10x^2+9=0$ の解を全て求めよ。

問2の解答を与えるPythonプログラム

Python

import sympy

x = sympy.Symbol('x')

fx = x**4 - 10*x**3 + 35*x**2 -50*x + 24
print(f'(1)の解答  ')
print(f'因数分解すると {sympy.factor(fx)}=0 となり、')
ans = ', '.join(list(map(str, sympy.solve(fx))))
print(f'これより、x = {ans} となる。')

fx = x**4 - 10*x**2 + 9
print(f'')
print(f'(2)の解答  ')
print(f'因数分解すると {sympy.factor(fx)}=0 となり、')
ans = ', '.join(list(map(str, sympy.solve(fx))))
print(f'これより、x = {ans} となる。')

実行結果

(1)の解答  
因数分解すると (x - 4)*(x - 3)*(x - 2)*(x - 1)=0 となり、
これより、x = 1, 2, 3, 4 となる。

(2)の解答  
因数分解すると (x - 3)*(x - 1)*(x + 1)*(x + 3)=0 となり、
これより、x = -3, -1, 1, 3 となる。

問3

(1) 次の等式が全ての $x$ に対して成り立つように定数 $a$、$b$、$c$ の値を求めよ。

$$ x^2 = a(x-2)^2 + b(x-2) + c $$

(2) 次の等式が全ての $x$ に対して成り立つように定数 $a$、$b$ の値を求めよ。

$$ \frac{3x-4}{(x+2)(x-3)} = \frac{a}{x+2} + \frac{b}{x-3} $$

問3の解答を与えるPythonプログラム

(2) は部分分数分解です。

Python

import sympy

x, a, b, c = sympy.symbols('x a b c')

print(f'(1)の解答   ',end='')
fx1 = x**2
fx2 = a*(x-2)**2 + b*(x-2) + c
sol = sympy.solve( fx1 - fx2, [a, b, c])
ans = ', '.join(list(map(lambda x: '{0}={1}'.format(x,sol[x]), sol.keys())))
print(ans)

print(f'(2)の解答   ',end='')
fx1 = (3*x-4)/((x+2)*(x-3))
fx2 = a/(x+2)+b/(x-3)
sol = sympy.solve( fx1 - fx2, [a, b])
ans = ', '.join(list(map(lambda x: '{0}={1}'.format(x,sol[x]), sol.keys())))
print(ans)

実行結果

(1)の解答   a=1, b=4, c=4
(2)の解答   a=2, b=1

問4

次の方程式を満たす $x$ の値を求めよ。

(1) $\frac{3}{x+2}+\frac{3}{x-2}=2$
(2) $\frac{3}{x+2}+\frac{3}{x-2}=0$
(3) $\sqrt{x+3}=x+1$
(4) $-\sqrt{x+3}=x+1$

問4の解答を与えるPythonプログラム

Python

import sympy

x = sympy.Symbol('x')

fx1 = 3/(x+2) + 3/(x-2)
fx2 = 2
ans = ', '.join(list(map(str, sympy.solve(fx1-fx2))))
print(f'(1)の解答  x = {ans}')

fx1 = 3/(x+2) + 3/(x-2)
fx2 = 0
ans = ', '.join(list(map(str, sympy.solve(fx1-fx2))))
print(f'(2)の解答  x = {ans}')

fx1 = sympy.sqrt(x+3)
fx2 = x+1
ans = ', '.join(list(map(str, sympy.solve(fx1-fx2))))
print(f'(3)の解答  x = {ans}')

fx1 = -sympy.sqrt(x+3)
fx2 = x+1
ans = ', '.join(list(map(str, sympy.solve(fx1-fx2))))
print(f'(4)の解答  x = {ans}')

実行結果

(1)の解答  x = -1, 4
(2)の解答  x = 0
(3)の解答  x = 1
(4)の解答  x = -2