状況設定
- 無限長の伝送線路を考える
- 損失なし
電信方程式, 波動方程式の導出
これは省略。気が向いたら書きます。
波動方程式を解く
波動方程式は以下のように表せる：
$$
\frac{\partial^2 f}{\partial t^2}=\frac{1}{v}\frac{\partial^2 f}{\partial t^2} \label{1}
$$
無損失経路について考えるので、
$$
V := 1/\sqrt{LC}
$$
ここで、以下の変数変換を定義：
$$
u= x+Vt,\space
v= x-Vt
$$
だから逆に
$$
x=\frac{u+v}{2}, \space t=\frac{u-v}{2V}
$$
故に、f(x,t)はu,vで
$$
f(x,t)=f(\frac{u+v}{2}, \frac{u-v}{2V})
$$
ここで偏微分の公式から：
$$
\frac{\partial }{\partial x}=\frac{\partial }{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial }{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}
$$
が成立するので、
$$
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}\
=\frac{\partial f}{\partial u}+\frac{\partial f}{\partial v}
$$
$$
\therefore \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}
=\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial f}{\partial u}+\frac{\partial f}{\partial v})=\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial u}+\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial v}
$$
$$
=\frac{\partial^2 f}{\partial u^2}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial^2 f}{\partial u\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial^2 f}{\partial v^2}\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial^2 f}{\partial u \partial v}\frac{\partial u}{\partial x}\
$$
$$
=\frac{\partial^2 f}{\partial u^2}+2\frac{\partial^2 f}{\partial u \partial v}+\frac{\partial^2 f}{\partial v^2}
$$
また、tの二回偏微分は、
$$
\frac{\partial u}{\partial t}=V,\space \frac{\partial v}{\partial t}=-V
$$
であることを考えると、
$$
\frac{\partial^2 f}{\partial t^2}=V^2(\frac{\partial^2 f}{\partial u^2}-2\frac{\partial^2 f}{\partial u \partial v}+\frac{\partial^2 f}{\partial v^2})
$$
これを最初の波動方程式に代入：
$$
\frac{\partial^2 f}{\partial u\partial v}=0
$$
右辺は0であるから、これをuについて積分すると右辺にはvの関数もしくは定数が現れる。：
$$
\frac{\partial f}{\partial v}=g(v)
$$
続いて、vで積分すると、
$$
f(u,v)=G(v)+h(u)=g(v)+h(u)
$$
なお、G(v)はvの任意関数を表しているだけなので、$G(v)$を改めて$g(v)$とおいた。u,vをx,tの式で置換すると：
$$
f(u,v)=g(x-Vt)+h(x+Vt)
$$
ここでのgは後退波、hは進行波を表す（ので、$g=f_{-},\space h=f_{+}$と置き換えるといいかも）。