壮大なる序章
微分論理学をここに創設する。
はじめに
論理式に「微分」や「積分」をかけたらどうなるんだろう？
そんな突拍子もない疑問から、「微分論理学（Differential Logic）」という新しい試みに取り組んでみました。
命題論理（ブール論理）は、変数が0か1のどちらかの値しか取らない世界で動いています。この離散的な論理式の世界に、連続的な変化を捉える微積分の概念を持ち込むことができたらどうなるか？
たとえば、次のようなことが可能になります：
1.論理式を変数で偏微分する：変数が0と1をとったときの論理式の変化を比較することで、「どの変数が結果に影響を与えているか」を解析できる。
2.論理式を積分する：ある変数に関して「全ての可能性を合成」して論理式を単純化したり、構造を分解したりできる。
3.論理式の勾配ベクトルを取る：どの方向に「真偽の変化」が起きやすいかをベクトルとして定義できる。SATソルバーの変数選択などにも応用可能。
これらは単なる数学的遊びではなく、実際にSATソルバーのアルゴリズム設計や、論理的構造の可視化、形式検証ツールへの応用も視野に入れています。
本記事では、この「微分論理学」の基本的な考え方と、その背後にあるアイディア、具体的な演算子の定義、そしてちょっと変わった応用の可能性について紹介します。
こんな人におすすめ
1.SATやSMTソルバーの理論に興味がある方
2.「論理式を解析的に扱う」ことに興味のある数理好きな方
3.記号論理や数理論理、離散数学が好きな方
4.新しい理論体系にワクワクする人！
概要
微分論理学とは「命題論理(ブール論理)に対する微分積分体系」です。
しかし、命題論理学では基本的に各変数は0か1の2値論理であり、連続値を取り扱わない以上そもそも微分は定義できません。
なので、この微分論理学における微分とは「なんか微分みたいなもの」と思ってください。
ここでは、実際に偏微分を以下で定義します。ここで、φを命題論理式とします。
\frac{\partial}{\partial x_k}\phi(x_1, \dots, x_n) = \phi(x_k = 0) \oplus\phi(x_k = 1)
これを見ると、どこが微分なんだ、これ？と思われるかもしれません。
でも、微分論理学においてはこれを"微分"と定義しちゃっていいんです。
微分の定義の理由
この定義が本当に“微分っぽい”かどうかを、以下の観点から見ていきましょう：
変化の検出
通常の偏微分$\frac{\partial f}{\partial x}$は、「$x_k$を少し変えたときに、$f$の値がどう変化するか」を測るものでした。
微分論理学では、$x_k$は0か1しか取れないため、「少し変える」は「0と1を入れ替える」しかありません。
そこで、以下のように考えます：
$\phi(x_k =0)$ … $x_k$が0のときの$\phi$の結果
$\phi(x_l =1)$ … $x_k$が1のときの$\phi$の結果
それらの差異（≠）をXOR（排他的論理和）で表す。
つまり、$\frac{\partial}{\partial x_k}\phi(x_1, \dots, x_n) = \phi(x_k = 0) \oplus\phi(x_k = 1)$は、「$x_k$を変えたときに$\phi$が変わるかどうか？」を表す式になっています。これはまさに、離散的な変化の検出器です。
線形性（XOR加法との相性）
XOR演算は線形性を持つため、命題論理式の構造に対して“線形代数っぽい”扱いができます。
たとえば次のような線形性が成り立ちます：
\frac{\partial}{\partial x_k}(\phi\oplus\psi)= \frac{\partial}{\partial x_k}\phi \oplus\frac{\partial}{\partial x_k}\psi
つまり「微分が分配できる」という性質が成り立つため、複雑な論理式も構成要素に分解して微分できるというメリットがあります。
これにより、論理式の構文解析や因果構造の抽出が可能になります。
ANFと微分：構文の代数解析
微分論理学における偏微分演算
$$
\frac{\partial}{\partial x_k}\phi = \phi(x_k = 0) \oplus \phi(x_k = 1)
$$
は見た目にはシンプルですが、背後にはブール関数の代数構造との深い関係があります。
特に、ANF(Algebraic Normal Form) との接続は、微分の本質を理解するうえで重要です。
ANFとは何か？
命題論理式 $\phi(x_1, \dots, x_n)$ は、次のように XORとANDだけ を使った形で展開できます：
$$
\phi(x_1, \dots, x_n) = \bigoplus_{S \subseteq {1, \dots, n}} a_S \cdot \left( \bigwedge_{i \in S} x_i \right)
$$
ここで：
- $a_S \in {0, 1}$ は係数（その項が存在するかどうか）
- AND（$\wedge$）は変数の積
- XOR（$\oplus$）は項の和
この表現は ANF（Algebraic Normal Form） または Zhegalkin多項式 と呼ばれます。
論理式の「代数的成分」が明示されるため、構文的な解析や変数依存性の抽出が容易になります。
偏微分は「構文の射影」
このANF上で偏微分 $\frac{\partial \phi}{\partial x_k}$ を計算すると、次のようになります：
-
$x_k$ を含まない項（$x_k \notin S$）：
- $\phi(x_k=0) = \phi(x_k=1)$ → 差は $0$（キャンセル）
-
$x_k$ を含む項（$x_k \in S$）：
- 固定により非ゼロ成分が残る
したがって：
$$
\frac{\partial \phi}{\partial x_k} = \bigoplus_{S \ni x_k} a_S \cdot \left( \bigwedge_{i \in S \setminus {x_k}} x_i \right)
$$
これは、$x_k$ に依存している項だけを抽出し、$x_k$ を取り除いた形にする操作です。つまり、偏微分は構文的な「$x_k$成分への射影作用」と解釈できます。
例：具体的に見てみよう
例として $\phi(x, y) = x \land y \oplus x$ を考えます。
ANFに書き直すと：
$$
\phi(x, y) = x \oplus (x \cdot y)
$$
このとき偏微分は：
$$
\begin{align}
\frac{\partial \phi}{\partial x} &= \phi(x=0, y) \oplus \phi(x=1, y) = 0 \oplus (1 \oplus y) = 1 \oplus y
\end{align}
$$
これは、$x$ を含む項だけを取り出して $x$ を消した形と一致しています。
微分は「構文分解」の道具
まとめると、偏微分 $\frac{\partial \phi}{\partial x_k}$ は：
- $\phi$ が $x_k$ に依存しているかどうかを調べ、
- 高次項の因果的構造を可視化し、
- SATや構文的探索アルゴリズムにヒントを与える
という意味で、構文の代数的分解器として使えます。
補足：メビウス変換としての視点
より抽象的には、ANFの係数列は「関数値 ⇒ 係数」への変換であり、これはメビウス変換（離散版フーリエ変換）と呼ばれます。
偏微分はこの変換空間における「係数の切り出し操作」に対応します。
積分とアフィン展開：命題論理式の構文的分解
微分を定義したら、やはり気になるのは「積分」です。
微分論理学では、命題論理式に対する積分を以下のように定義します：
命題論理式における積分
変数 $y$ に関する積分を以下のように定義します：
$$
\int \phi \ dy := \left( \phi \land y \right) \oplus C
$$
ここで、Cは積分定数に当たるもので、任意の命題論理式です。
実はこれは、次節で説明する「アフィン分解」の逆演算として自然に出てくるものです。
アフィン分解（アフィン展開）
命題論理式 $\phi$ に対して、変数 $x_k$ に関する構文的な分解（アフィン展開）は以下のように定まります：
$$
\phi = \left( \frac{\partial \phi}{\partial x_k} \land x_k \right) \oplus \phi(x_k = 0)
$$
これは、$\phi$ を $x_k$ の一次式として「傾き」と「切片」に分解している形です。
- $\frac{\partial \phi}{\partial x_k} \land x_k$：
→ $x_k = 1$ のときに有効な「傾き（勾配）成分」 - $\phi(x_k = 0)$：
→ $x_k = 0$ のときの論理値、つまり「切片」
この分解は、線形代数におけるアフィン関数
$f(x) = a x + b$ に対する構文的類似物と考えることができます。
アフィン展開の役割
アフィン展開は、論理式の中から特定変数 $x_k$ に関する変化部分と定常部分を分離する強力な構文解析ツールです。
- SATなどの構文探索では、$x_k$ を含む成分だけを取り出すのに使える
- 変数の感度分析（感度 = $\partial \phi / \partial x_k$）に利用できる
- 多変数論理式に対して、再帰的にアフィン展開すればANF表現も得られる
勾配ベクトルと保存場：論理空間の構文的力学
微分論理学では、論理式 $\phi(x_1, \dots, x_n)$ を「論理空間上の場（field）」のように捉えることができます。
このとき、$\phi$ の 勾配ベクトル（gradient） とは、「どの方向に真偽が変化しやすいか」を構文的に表すベクトルになります。
勾配ベクトルの定義
勾配ベクトル $\nabla \phi$ は、全変数に関する偏微分を並べたベクトルとして定義されます：
$$
\nabla \phi := \left( \frac{\partial \phi}{\partial x_1}, \frac{\partial \phi}{\partial x_2}, \dots, \frac{\partial \phi}{\partial x_n} \right)
$$
それぞれの成分 $\partial \phi / \partial x_k$ は、変数 $x_k$ を0と1に変えたときの $\phi$ の真偽変化（XOR）を表します。
つまり、$\nabla \phi$ は「真偽が変わる方向」をベクトルとして表現しているのです。
意味論：構文的な「力」の方向
-
$\frac{\partial \phi}{\partial x_k} = 1$ のとき：
- $x_k$ を変えると $\phi$ の値が変化する → そこに「変化の勾配」がある
-
$\frac{\partial \phi}{\partial x_k} = 0$ のとき：
- $x_k$ を変えても $\phi$ は不変 → 構文的には $x_k$ は無関係
これをベクトル場としてみなせば、$\nabla \phi$ は構文的な意味での “力”の方向場 と考えることができます。
ラプラシアンの導入
ラプラシアン（離散版）も定義できます：
$$
\Delta \phi := \sum_{k=1}^n \frac{\partial^2 \phi}{\partial x_k^2}
$$
ここで、二階微分 $\frac{\partial^2 \phi}{\partial x_k^2}$ は次のように定義できます：
$$
\frac{\partial^2 \phi}{\partial x_k^2} := \frac{\partial}{\partial x_k} \left( \frac{\partial \phi}{\partial x_k} \right)
$$
これは、「その方向にどれくらい変化が加速されているか」を表します。
微分論理学では$\Delta \phi = 0$が常に成立します。
勾配ベクトル場とSAT探索の関係
$\nabla \phi$ の方向をたどることで、論理空間内で「真偽が変化する方向」に沿って移動できます。
このため、$\nabla \phi$ は 構文的な勾配探索（gradient descent） のガイドとして使えます：
- 勾配の大きい方向に進む：真偽を変えやすい変数に着目
- 局所的に $\nabla \phi = 0$：局所的に安定（≠ SATではない点に注意）
このように、$\nabla \phi$ はSATの構造探索や局所的修正アルゴリズムのベースになります。
この視点により、命題論理式は単なる真理値の集合ではなく、構文的構造と力学的意味をもった論理場（logical field） として再解釈されます。
各種演算一覧：微分論理学の演算体系
微分論理学では、命題論理式 $\phi(x_1, \dots, x_n)$ に対して、以下のような演算を定義します。これらはすべて、構文的でかつ論理的に閉じた形で定義されており、論理式に直接作用します。
基本演算子一覧
| 演算子 | 定義 | 意味・解釈 |
|---|---|---|
| $\mathrm{Frc}[x_k = y] \phi$ | $\phi(x_k = y)$ | 変数 $x_k$ に値 $y$ を代入 |
| $\displaystyle \frac{\partial \phi}{\partial x_k}$ | $\phi(x_k = 0) \oplus \phi(x_k = 1)$ | $x_k$ を変化させたときの差分（偏微分） |
| $\displaystyle \int \phi \ dy$ | $\left(\phi \land y\right) \oplus C$ | $x_k$ に関する積分（アフィン展開の逆） |
| $\nabla \phi$ | $(\partial \phi/\partial x_1, \dots, \partial \phi/\partial x_n)$ | 勾配ベクトル（真偽の変化方向） |
| $\mathrm{Fix}[x_k] \phi$ | $\phi(x_k = 0) \land \phi(x_k = 1)$ | $x_k$ に依存しない部分（固定） |
| $\mathrm{Amp}[x_k] \phi$ | $(\partial \phi / \partial x_k) \land x_k$ | $x_k$ の「振幅成分」 |
| $\mathrm{Red}[x_k] \phi$ | $\phi(x_k = 0)$ | $x_k = 0$ における値（切片） |
| $\mathrm{Dep}[x_k] \phi$ | $\mathrm{Fix}[x_k] \phi \oplus \phi$ | $x_k$ への依存性（0なら独立） |
| $\mathrm{Inv}[x_k] \phi$ | $\partial \phi/\partial x_k \oplus \phi$ | $x_k$ を反転したときの変化（双対操作） |
| $\mathrm{Dua} \phi$ | $\mathrm{Inv}[\mathrm{ALL}] \lnot \phi$ | $\phi$ の全変数反転後の否定（完全双対） |
公式と関係式
-
アフィン分解公式（一次展開）：
$$
\phi = \mathrm{Amp}[x_k] \phi \oplus \mathrm{Red}[x_k] \phi
$$ -
微分の線形性：
$$
\frac{\partial}{\partial x_k}(\phi \oplus \psi) = \frac{\partial \phi}{\partial x_k} \oplus \frac{\partial \psi}{\partial x_k}
$$ -
Fixと微分の関係：
$$\frac{\partial \phi}{\partial x_k}=0 ⇔ \mathrm{Fix}[x_k] \phi = \phi$$
応用の視点
-
SAT解析：
勾配 ∇φ を使って、真偽が変わりやすい変数に焦点を当てた探索が可能 -
構文構造解析：
Amp, Red, Fix により論理式を構造的に分解・可視化できる -
符号理論・スペクトル解析：
ANF変換やメビウス変換と組み合わせて高次項の抽出が可能
このように、微分論理学は論理式に対する構文的・代数的・幾何的な解析を可能にする演算体系を提供します。
高階微分
微分論理学では、一次の偏微分 $\partial \phi / \partial x_k$ に加えて、二次・三次…といった高階の微分も自然に定義できます。
これにより、論理式の多変数相互作用や構文的な特異性（non-linearity）の検出が可能になります。
高階偏微分の定義
2変数 $x, y$ に対する二階混合偏微分は次のように定義されます：
$$
\frac{\partial^2 \phi}{\partial x \partial y} := \phi_{00} \oplus \phi_{01} \oplus \phi_{10} \oplus \phi_{11}
$$
ここで：
- $\phi_{ab} := \phi(x = a, y = b)$ （$a, b \in {0, 1}$）
つまり、4つの真理値をすべてXORで合成することで、「$x, y$ を変えたときに、$\phi$ の真偽が非線形に変化するかどうか」を検出しています。
定義の意味：交互作用の検出
-
一次微分 $\partial \phi / \partial x$：
$x$ を変えたときに $\phi$ が変わるか（単独効果） -
二次微分 $\partial^2 \phi / \partial x \partial y$：
$x$ と $y$ の同時変化によって $\phi$ が非線形に変化するか（交互作用）
これにより、「構文的に複雑な論理構造（非分離性）」を検出することができます。
ANF（代数標準形）との関係
ANF（Algebraic Normal Form）では、$\phi$ は次のように展開されます：
$$
\phi(x_1, ..., x_n) = \bigoplus_{S \subseteq {1,...,n}} a_S \cdot \left( \bigwedge_{i \in S} x_i \right)
$$
このとき：
- $\partial^k \phi / \partial x_{i_1} \cdots \partial x_{i_k} = 1$
⇔ $\exists S$ with ${x_{i_1},...,x_{i_k}} \subseteq S$ such that $a_S = 1$
つまり、高階微分は、次数 $k$ の項の存在検出器として働きます。
一般の高階偏微分（n変数）
変数集合 $X = {x_{i_1}, x_{i_2}, ..., x_{i_k}}$ に対して：
$$
\frac{\partial^k \phi}{\partial x_{i_1} \cdots \partial x_{i_k}} := \bigoplus_{\mathbf{a} \in {0,1}^k} \phi(x_{i_1} = a_1, ..., x_{i_k} = a_k)
$$
これは、$k$ 個の変数の全ビット割り当てに対する $\phi$ のXOR合成です。
応用と意味論
| 項目 | 意味・用途 |
|---|---|
| $\partial^2 \phi/\partial x \partial y = 1$ | $\phi$ は $x,y$ の両方を含む項（$x \land y$など）を持つ |
| 高階微分全体 | $\phi$ の非線形性・交互作用構造の解析 |
| ANF変換の検証 | 高次数項の有無を高階微分で確認できる |
| SAT・SMT補助 | 制約の「非線形度」や絡みの強さの指標になる |
まとめ
- 高階偏微分は、論理式の非線形構文構造を検出する道具
- ANFとの対応により、次数 $k$ の項があるかどうかを調べられる
- SATや構文解析への応用だけでなく、符号理論・暗号理論などにも展開可能
4値論理：真と偽のあいだを定義する
命題論理は通常、2値（0,1） の世界で成り立っています。
しかし微分論理学では、論理式に対して微分や勾配、構文的変化を考えるため、「真でも偽でもない中間状態」 の導入が自然に現れます。
そこで、ここでは以下の4つの論理値を扱う4値論理系を導入します：
$$
{0, 1, M, W}
$$
- $0$：偽（False）
- $1$：真（True）
- $M$：不定または可変（Maybe）
- $W$：非整合または否定的可変（Weak）
否定と基本演算の定義
この4値論理では、以下のように直観的な規則で演算を定めます：
| 値 | 否定 $\lnot$ | 補足 |
|---|---|---|
| $0$ | $1$ | 標準的否定 |
| $1$ | $0$ | 標準的否定 |
| $M$ | $W$ | Maybe の否定は Weak |
| $W$ | $M$ | Weak の否定は Maybe |
AND演算
| $\land$ | $0$ | $1$ | $M$ | $W$ |
|---|---|---|---|---|
| $0$ | $0$ | $0$ | $0$ | $0$ |
| $1$ | $0$ | $1$ | $M$ | $W$ |
| $M$ | $0$ | $M$ | $M$ | $0$ |
| $W$ | $0$ | $W$ | $0$ | $W$ |
OR演算はド・モルガンの定理より求まります。
XOR演算
この体系では XOR を「可変性の対立」として以下のように定義します：
| $\oplus$ | $0$ | $1$ | $M$ | $W$ |
|---|---|---|---|---|
| $0$ | $0$ | $1$ | $M$ | $W$ |
| $1$ | $1$ | $0$ | $W$ | $M$ |
| $M$ | $M$ | $W$ | $0$ | $1$ |
| $W$ | $W$ | $M$ | $1$ | $0$ |
微分論理学と4値論理
ここで重要なのは、微分論理学においてはこの4値論理に拡張しても整合的である という点です。
この4値論理は既存のベルナップの4値論理とよく似ていますが、あちらとは否定演算に差異があります。
応用：SAT探索における中間評価
4値論理を導入すると、SAT探索の中間状態をより構文的に扱えます：
- 勾配 $\nabla \phi$ を計算したときに $M$ や $W$ を代入する
- $M$ は「未確定な真」、$W$ は「未確定な偽」
- 解空間上の動きに対する構文的フィードバックが得られる
応用例：微分論理学は何に使えるのか？
微分論理学は、命題論理に対して微分・積分・勾配・構文展開といった解析的手法を導入することで、以下のような実践的かつ理論的応用が可能になります。
1. SATソルバーの構文的勾配探索
SAT問題（充足可能性問題）において、どの変数を優先して割り当てるべきかを判断するために、微分演算が有効です。
- 勾配ベクトル $\nabla \phi$ を用いて「真偽が変わりやすい変数」を検出
- $\partial \phi / \partial x_k = 1$ の変数を優先すると、構文的に影響の強い箇所を探索できる
- 局所解空間の構造を解析して、ヒューリスティックな分岐戦略を設計
→ SAT探索の構文的な“勾配降下法”として使える
2. ANF（代数正規形）の成分解析
Algebraic Normal Form（ANF）において、微分演算は以下のような役割を果たします：
- 一次微分：線形項の検出（$x_k$を含むかどうか）
- 二次以上の高階微分：高次モノームの有無の確認
- 構文的項の抽出・圧縮・削除（演算による構文フィルタリング）
→ 符号理論やブール関数解析にも応用可能
3. 論理回路の感度解析
論理回路に対応する論理式 $\phi$ に対して：
- $\partial \phi / \partial x_k = 1$ のとき、$x_k$ は出力に影響を与える敏感な信号線
- $\mathrm{Fix}[x_k] \phi = \phi$ なら、$x_k$ は不要（常に同じ出力）
→ 感度解析・冗長回路除去・故障診断に応用可能
4. 中間値と不確定性の記号的モデリング
4値論理（0, 1, M, W）を用いることで、「未定義」「未決定」「非整合」 な状態も定量的に扱えます。
- 途中状態を含むSAT探索に意味づけ
- 不完全情報を扱う論理評価（仮定・条件付き論理）
- 非決定論的推論や確率論理への道を開く
→ 実システムの論理検証、形式仕様の緩和処理などに有効
5. 機械学習的応用（勾配に基づく構文最適化）
SATやSMTのような記号問題にも、構文的な“勾配”を導入できれば：
- 微分論理演算子に基づいた構文的ロス関数
- 勾配的アルゴリズムでの探索（Neuro-Symbolic系への応用）
- ベクトル空間上での構文操作の数値最適化
→ 論理と学習の橋渡しとして有望な領域
6. 論理式の構文的変形・リファクタリング
アフィン展開・偏微分・積分を組み合わせることで：
- 不要な変数の除去（$\mathrm{Fix}[x_k] \phi = \phi$ なら除ける）
- 影響の大きい構文部分の抽出（$\mathrm{Amp}[x_k] \phi$）
- 構文的等価変形（$\phi = \mathrm{Amp} \oplus \mathrm{Red}$）
→ 論理式の自動簡約・リファクタリングツールへの応用
まとめ：微分論理学の応用範囲
| 分野 | 応用例 |
|---|---|
| SAT/SMT | 勾配探索、構文的変数選択、局所構造分析 |
| 回路理論 | 感度解析、冗長除去、影響評価 |
| 数理論理 | ANF項の抽出、項の次数構造解析 |
| 確率論理 | 中間状態（M/W）評価、非決定論的推論 |
| 機械学習 | 構文的ロス、構文空間での最適化 |
これらの応用はまだ発展途上ですが、構文的微積分というまったく新しい観点から論理を解析することで、さまざまな分野への橋渡しが可能になります。
まとめ
本記事では、命題論理に対する微積分体系「微分論理学」 を紹介しました。
通常、命題論理は0と1の2値世界で完結しており、「変化」や「構文的な方向性」を扱うことは困難です。
しかし、本稿で示したように：
- 偏微分 $\displaystyle \frac{\partial \phi}{\partial x_k} = \phi(x_k = 0) \oplus \phi(x_k = 1)$
- 勾配ベクトル $\nabla \phi$
- アフィン分解 $\phi = (\partial \phi/\partial x_k \land x_k) \oplus \phi(x_k = 0)$
- 高階微分による構文の次数解析
- 中間状態 $M, W$ を導入した4値論理
- メビウス変換との接続（ANF）
といった演算と構造を用いることで、論理式を構文的に“解析”し、“操作”することが可能になりました。
微分論理学の意義とは？
微分論理学は、命題論理に次のような新しい視点をもたらします：
- 構文に対する解析的手法：論理式を勾配や分解を通じて調べる
- SATや形式検証への応用：探索戦略や構文的情報の抽出に役立つ
- 多値論理・量子的拡張への道：$M, W$ や虚数論理、確率論理との接続
- 数理的な統一感：代数、論理、ベクトル解析、圏論的視点の統合
最後に
「論理を微分する」という一見奇抜な発想は、しかし実際には構文構造を解析し、操作し、理解するための新しい武器になり得ます。
今後は、実装、可視化、他分野応用も含めて、「微分論理学」という新しい分野が広がっていくことを期待しています。
もし本記事に興味を持っていただけたら：今後続編記事も予定しています。フォローしてお待ちください！
ご精読ありがとうございました！(2025/7/7：Kazuki Ochi)