※ この記事は個人で実行してみた際にうまく行った方法を記しただけで、検証・考察して得た方法ではありません。
※ ほとんど以下の公式サイトに書いてあるとおりです。
https://www.dropbox.com/install-linux
手順
1. インストール
以下のコマンドを実行してインストール
cd ~ && wget -O - "https://www.dropbox.com/download?plat=lnx.x86_64" | tar xzf -
2. ログイン、登録
以下のコマンドを実行してDropboxデーモンを起動
~/.dropbox-dist/dropboxd
サーバーで初めて Dropbox を実行する場合、使用中のブラウザでリンクをコピーして貼り付けて新規アカウントを作成するか、既存のアカウントとサーバーを連携させるように指示が表示されます。その後、Dropbox フォルダがホーム ディレクトリに作成されます。（上記公式HPより）
作成された~/Dropboxにファイルを入れると同期されるようになる。
上記プログラムを終了してしまうと、自動同期されないので以下のプログラムの実行などが必要
3. 同期させるためのプログラムの実行
公式サイト（以下URL）の下部から"Pythonスクリプト"をダウンロードする
https://www.dropbox.com/install-linux
ダウンロードしたpythonプログラムを実行
python3 dropbox.py start
これで自動で同期されるようになる。
python2だとそのままでは実行できない点に注意。