特異値分解の証明について

Q&A

行列AをA＝UΣV.Tとする特異値分解について質問です。

今左特異ベクトル{u_1...u_i}がAv_iと同じ方向を向いているという証明について下記の画像の証明が説明されています。

しかし式（13）において赤枠部分の結論が「u_i = Av_i/σ_iはAA.Tの単位固有ベクトルである」という結論となる理由が理解できないでいます。u_iというのはどういう理屈から出てくるのでしょうか？

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すぐ後に書いてある「式(13)において～」を言い換えただけですが……

ベクトル$v$が行列$B$の固有ベクトルである
$\Leftrightarrow$ ある係数$\beta$（固有値）が存在し、$Bv = \beta v$と表せる

ですので、次のように読み替えれば、赤枠の$AA^\top Av_i = \sigma^2_iAv_i$は、$Av_i$が固有ベクトルであることを示しているのが分かると思います。

$$
B = AA^\top, \quad v = Av_i, \quad \beta = \sigma^2_i
$$

ところで、(12)にある通り、$||Av_i|| = \sigma_i$なので、$Av_i$をその長さで割った$u_i = Av_i/\sigma_i$は、固有ベクトルで長さ1、すなわち固有単位ベクトルというわけです。

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