エラーメッセージの意味がよくわからず、解決するまで少し時間が掛かってしまったので。

再現

const assertIsString = (val: any): asserts val is string => {
    if (typeof val !== "string") {
        throw new Error("Not a string!");
    }
}

const someValue: unknown = "foo"; // const someValue: unknown

assertIsString(someValue); // const someValue: unknown

console.log(someValue); // const someValue: string

TypeScript Playground

9 行目でエラー。

Assertions require every name in the call target to be declared with an explicit type annotation.(2775)

解決

（outdated な解決策のため折りたたみました。これはもう参考にする必要はありません。）

function assertIsString(val: any): asserts val is string {
    if (typeof val !== "string") {
        throw new Error("Not a string!");
    }
}

const someValue: unknown = "foo"; // const someValue: unknown

assertIsString(someValue); // const someValue: unknown

console.log(someValue); // const someValue: string

~~TypeScript Playground~~

~~どうやら asserts function は、 function で宣言すべきらしい。~~

解決 - 令和最新版

const assertIsString: (val: any) => asserts val is string = (val) => {
  if (typeof val !== "string") {
    throw new Error("Not a string!")
  }
}

const someValue: unknown = "foo" // const someValue: unknown

assertIsString(someValue) // const someValue: unknown

console.log(someValue) // const someValue: string

TypeScript Playground

関数内に型を書くのではなく、変数そのものに対して型宣言すればよい。
もちろん Generics も対応。

const assertNonNull: <T>(x: T | null | undefined) => asserts x is T = (x) => {
  if (x == null) {
    throw new Error("Should exist value.")
  }
}

const maybe: number | undefined = 0 as any

assertNonNull(maybe) // const maybe: number | undefined

console.log(maybe) // const maybe: number

TypeScript Playground

結論

以下の問題があるため、JavaScript では「全て Arrow function にすべき」と考えている。

this の参照先がわかりづらい問題
function を再宣言（上書き）できてしまう問題

~~しかし、どちらも現代的な JS/TS 開発で遭遇することは滅多になくなってしまった。~~
~~なので、「全て function で宣言すべき」としてもよいのかもしれない。~~

晴れて function を使う理由がなくなったので、 全て arrow function にすべき。

おまけ: ESLint で function 宣言を禁止する

.eslintrc.js

/**
 * @type {import("eslint").Linter.Config}
 */
const config = {
  rules: {
    // ...
    "no-restricted-syntax": [
      "error",
      {
        selector: "FunctionDeclaration",
        message: "Do not declare function. Use arrow function instead.",
      },
    ],
    // ...
  }
}

error  Do not declare function. Use arrow function instead  no-restricted-syntax

さようなら function

参考