復習と頭の整理のためにメモとして書いていきます。随時、追記していきます。
分類
画像が縦長か横長か、２つの分類先に分ける二値分類について考える。
データ : 高さと横幅の部分
ラベル : 形の部分
表の内容をプロットすると次のようになる。
更に、データ数を増やしてみる。
再度、プロットすると次のようになる。
これは、次のように線を引いて分類できる。
分類の場合は、図形的に解釈するとわかりやすいから、大きさと向きを持った矢印のベクトルをイメージするといい。
先の線は、重みベクトルを法線ベクトルとする直線ということになる。
（注意）
は重みベクトルというパラメータで、法線は、ある直線に対して垂直なベクトルのこと。
ベクトル同士の内積について
実ベクトル空間の内積は各要素の積を足し上げたものだから、次の式と同じ意味ということ。
今回の縦幅と横幅を求める式は次のようになる。
= (1, 1)のとき
となり、傾き-1の直線を表すということがわかる。
（内積の式は直線のグラフを表す。）
重みベクトル = (1, 1)を書き加えると、
が直線に対して垂直になっていることがわかる。
次の学習データがあるとき、
縦長か横長かを判定する関数（つまり１か-1を返す関数
）は識別関数という名前がついている。
が負になるのは
のとき、つまり重みベクトル
との成す角がの範囲内、つまり直線を挟んだ重みベクトルの反対側の範囲。
重みベクトルの更新式は、次のようになる。
これをすべての学習データに対して繰り返し処理して重みベクトルを更新していく。
は、識別関数による分類がうまくいかなかった場合。
（横幅と高さのベクトル
を識別関数に通して分るいした結果と、実際のラベルyが異なっている）
それに対して、
は、識別関数による分類がうまくいったということ。
つまり、
この式は、識別関数による分類に失敗した時だけ新しいパラメータに更新するよ、という式。
分類に成功した時は、そのまま
を代入しているので何も変わらない。
では、詳しく分類に失敗した時の更新式
を見ていく。
重みベクトルは、回帰のパラメータ同様、ランダムな値で初期化するから、適当に以下のベクトルで考えてみる。
というデータがあるとき、これでパラメータを更新することを考えてみる。
お互いのベクトルはほぼ反対を向いているから
と
の成す角θは
になって、内積は負になる。
したがって、識別関数
による分類は-1となる。
つまり、
になって、分類に失敗したという状態。
更新式が適用され、
より、
このグラフは次のようになる。
ここで面白いのは、新しい次の
は
で、その新しい重みベクトルに垂直な直線（識別関数）は回転したこと。
これで
は直線を挟んで重みベクトルと同じ側に持ってくることができた。
なので、内積が正になり、
による分類は１になる。
なので、分類に成功したということになる。
このように、パラメータの重みベクトルは更新されていく。
この更新をすべての学習データについて繰り返していくことがパーセプトロンの学習ということになる。
ロジスティック回帰/シグモイド関数
ロジスティック回帰は、分類を確率として考えるので、アプローチの仕方が異なる。
横長を１、縦長を０とすると、
Q. 縦長を今回−１にしなかったのは何故か？
更新式を簡潔にするための便宜上の理由。本当はどちらでもいい。
回帰の関数
は、勾配降下法を使ってθを学習し、そのθを使って未知のデータ
に対する出力値を求めることができた。
このように、未知のデータがどのクラスに分類されるかを求める関数
が必要で、次のような式になる。
ちなみに
= 
なので、
は、
と書き換えることができる。
を横軸、
を縦軸だとする、シグモイド関数は次のようなグラフになる。
シグモイド関数の特徴は、
のとき、
シグモイド関数は、だから、分類を確率として考える上で便利。
未知のデータ
が横長だとう確率
は、次のように表すことができる。
の中の縦棒は、条件付き確率、つまり
というデータが与えられた時に横長（
）になる確率を表す。
のとき、横幅である確率は70%だということ。=>横長に分類される。
は横幅の確率が20%ということ。=> 縦長に分類される。
つまり、
の結果を見て、0.5をしきい値として横長か縦長かを分類される。
つまり、
のときは、
のときは、
ということがわかる。
は、
と書き直せる。
横軸を横幅（
）、縦軸が縦幅（
）のグラフを考える。
θの値をここでは適当に入れて
をグラフに表すと次のようになる。
つまり、縦長だと分類される領域は次のようになる。
要するに、
を境界線として、分類している。
このようにデータを分類するための直線のことを決定境界という。
今回は、パラメータθに適当な値を入れたので、上手く分類できていない。
次はそのθを求めるために、目的関数を定義して微分してパラメータの更新式を求める（ロジスティック回帰）。
が横長である確率
を
と定義したので、学習ラベル
と
の関係は、
のとき
、
のとき、
つまり、
すべての学習データはお互い関係なく独立に発生すると考えると、この場合の全体の確率は、次のように表すことができる。
この同時確率の式を一般化して次のように表すことができる。
をそれぞれ考える。
指数部の
に１を代入してみると、
指数部のに０を代入してみると、
場合分けするより、１つの式にまとまって表記が簡単になっている。
目的関数がわかったところで、次は、目的関数を最大化するパラメータθを考える。
（回帰の時は誤差を最小化する、今考えているのは、同時確率。確率が高くなってほしいから、最大化する。）
目的関数
は尤度という。「もっともらしい度合い」という意味。
対数尤度関数
これからは尤度関数を微分して、パラメータθを求めていく。
ただし、予め尤度関数は変形する（尤度関数の対数をとる）。
（確率は全て１以下の数で、同時確率のようなかけ算は、かけるほど値が小さくなっていくため。）
logは単調増加関数（グラフがずっと右上がりで、
なら
となるような関数
のこと。）で、そのグラフの形はこのような感じ。
なら
になっている。だから、尤度関数についても
なら
になる。
要するに、
を最大化することと
を最大化することは同じことになる。
それでは対数尤度関数を変形すると、
次に、尤度関数の微分について
ロジスティック回帰は、この対数尤度関数を目的関数として使うことになる。
これをパラメータθで微分していくと、
次のように置き換えて、
よって、
まずは、
から計算すると、
の微分は、
、
また、
を微分すると、
したがって、
次は、
を
で微分する。
ただし、
を微分することは、ややこしいので、以下のようなシグモイド関数の微分結果を利用して微分する。
とおいて、もう一段階、合成関数の微分を使う。
を
で微分する部分が要するにシグモイド関数の微分のことなので、
また、
を
で微分すると、
結果をかけあわせて、
あとは、この式からパラメータ更新式を導き出すだけ。今は最大化することが目的なので、微分した結果の符号と同じ方向に動かさないといけない。
ηの前と、シグマの中の符号を入れ替えて、回帰の時と符号を合わせるようにして、次のようにも書ける。
線形分離不可能
ロジスティック回帰を線形分離不可能な問題に適用する。
線形分離不可能な問題も、曲線であれば分類はできる。つまり次数を増やす必要がある。
学習データに
を加えた以下のようなデータを考える。
のとき、
θが以下のようなベクトルだったときのグラフの形を考えると、
θをとりあえず代入して、
よって、
となる。
グラフに書くと次のようになる。
このようにして、線形分離不可能な問題を解いて行く。
（今回はパラメータθがまだ適切ではないので、データを正しく分類できていない。）
例えば、好きなように次数を増やして、複雑な形の決定境界にすることもできる。