指定した緯度経度から最も距離の短い線分上の緯度経度を返すでは、「ライン上の点」を描画しましたが、マウス座標に最も近い「ライン上のライン」を描くにはどうしたらよいでしょうか。

こんなやつです。

最も距離の短い線分上の座標を求めて、その点でラインを分割する？
いえ turf.js なら lineSlice で一撃です。

Draw Line on LineString - JSFiddle - Code Playground

const routeSource = {
  'type': 'geojson',
  'data': {
    'type': 'Feature',
    'properties': {},
    'geometry': {
      'type': 'LineString',
      'coordinates': [
        [-122.48369693756104, 37.83381888486939],
        [-122.48356819152832, 37.82954808664175],
        [-122.48751640319824, 37.83168351665737],
        [-122.49223709106445, 37.83337825839438],
        [-122.49378204345702, 37.83368330777276]
      ]
    }
  }
};

const lineFeature = {
  type: 'FeatureCollection',
  features: [
    {
      "type": "Feature",
      "properties": {},
      "geometry": {
        "type":"LineString",
        "coordinates": []
      }
    }
  ]
};

const map = new mapboxgl.Map({
  container: 'map',
  center: [-122.486052, 37.830348],
  zoom: 15,
  style: {
    version: 8,
    sources: {
      OSM: {
        type: "raster",
        tiles: [
          "https://a.tile.openstreetmap.org/{z}/{x}/{y}.png",
        ],
        tileSize: 256,
        attribution:
        "OpenStreetMap",
      },
    },
    layers: [{
      id: "BASEMAP",
      type: "raster",
      source: "OSM",
      minzoom: 0,
      maxzoom: 18,
    }],
  },      
});

map.once('load', () => {

  map.addSource('route', routeSource);
  
  map.addLayer({
    'id': 'route',
    'type': 'line',
    'source': 'route',
    'layout': {
      'line-join': 'round',
      'line-cap': 'round'
    },
    'paint': {
      'line-color': '#888',
      'line-width': 8
    }
  });


  map.addSource('lineOnLine', {
    'type': 'geojson',
    'data': lineFeature
  });
  lineSource = map.getSource('lineOnLine');
  
  map.addLayer({
    'id': 'lineOnLine',
    'type': 'line',
    'source': 'lineOnLine',
    'layout': {
      'line-join': 'round',
      'line-cap': 'round'
    },
    'paint': {
      'line-color': 'red',
      'line-width': 12
    }
  });
  
  map.on('mousemove', e => {
  
    const start = routeSource.data.geometry.coordinates[0];
    const end = e.lngLat;
    const slicedLine = turf.lineSlice([start[0], start[1]], end.toArray(), routeSource.data);
  
    lineSource.setData(slicedLine);
  });

});

使い方は turf.lineSlice(開始座標, 終了座標, ライン) です。
開始座標, 終了座標はライン上の点である必要はなく、離れた点を指定すると「最も近いライン上の点」が使用されます。
この例では、開始座標はラインの始点に固定し、終了座標をマウス位置の緯度経度とすることで、マウスに追従してラインが伸び縮みさせています。

参考

lineSlice - Turf.js | Advanced geospatial analysis