1. 一次関数

式: y = ax + b

応用例

機械（フックの法則）
F = kx
（バネの力は変位xに比例する）
電気（オームの法則）
V = IR
（電圧は電流に比例する）
土木（沈下と荷重の比例）
δ = kP
（沈下量は荷重に比例）

2. 二次関数

式: y = ax² + bx + c

応用例

機械（投射運動）
y = −(g/2v₀²)·x² + (tanθ)·x
（放物線の弾道）
電気（共振回路インピーダンス）
Z(ω) = √(R² + (ωL − 1/ωC)²)
（周波数ごとに二次曲線的に変化）
土木（アーチ橋）
y = ax²
（荷重分散のため放物線型を採用）

3. 三角関数

式: sinθ, cosθ, tanθ

応用例

機械（単振動）
x(t) = A sin(ωt+φ)
電気（交流電圧）
v(t) = Vmax cos(ωt)
土木（測量）
H = D·tanθ

4. 指数関数

式: y = e^x, y = e^(−x)

応用例

機械（減衰振動）
A(t) = A₀ e^(−ζt)
電気（RC回路の充電）
v(t) = V₀ (1 − e^(−t/RC))
土木（劣化解析）
f(t) = f₀ e^(−kt)

5. 対数関数

式: y = log_a x

応用例

機械（疲労寿命式）
N = A − B log σ
電気（ゲイン[dB]）
G[dB] = 20 log₁₀(A)
土木（強度回復）
f(t) = a log t + b

6. 有理関数

式: y = 1/x, y=(ax+b)/(cx+d)

応用例

機械（速度比）
v₂/v₁ = N₁/N₂
電気（RCフィルタ伝達関数）
H(s) = 1/(1+sRC)
土木（地盤応力）
σ(x) = P/(2πx)

7. 無理関数（平方根）

式: y = √x

応用例

機械（振動周期）
T = 2π√(m/k)
電気（MOSFET特性）
Id ∝ (Vgs − Vth)² → √Id ∝ Vgs
土木（梁のたわみ）
δ = √(PL³/48EI)

8. 絶対値関数

式: y = |x|

応用例

機械（振動の片振幅）
|A sin(ωt)|
電気（整流回路）
v(t) = |Vmax sinωt|
土木（誤差評価）
Δ = |実測−設計|

9. 合成関数と逆関数

式: f(g(x)), f⁻¹(x)

応用例

機械：センサ補正 y = f(g(x))
電気：DACの変換 D → Vout = f(D)
土木：沈下量 δ から荷重 P = f⁻¹(δ)

10. 関数の極限

式: lim(x→0) sinx/x = 1

応用例

機械：小角度近似 sinθ≈θ
電気：高周波近似
土木：小勾配近似 tanθ≈θ

11. 微分

式: (d/dx) f(x)

応用例

機械：v = dx/dt, a = d²x/dt²
電気：i(t) = C dv/dt
土木：V = dM/dx

12. 積分

式: ∫ f(x) dx

応用例

機械：W = ∫F dx
電気：Q = ∫ i dt
土木：I = ∫ y² dA

13. テイラー展開

式: sinx ≈ x − x³/6, e^x ≈ 1 + x + x²/2

応用例

機械：非線形運動の近似
電気：素子の近似モデル化
土木：小変形解析

14. フーリエ級数

式: f(t) = Σ [aₙ cos(nωt)+bₙ sin(nωt)]

応用例

機械：振動・騒音の周波数分解
電気：PWM波形の高調波解析
土木：地震波の周波数解析

15. 複素関数（オイラーの公式）

式: e^(jθ)=cosθ+j sinθ

応用例

機械：回転ベクトル表現
電気：交流解析（フェーザ法）
土木：波動解析

16. 双曲線関数

式: sinhx, coshx

応用例

機械：吊り橋ケーブル y=a cosh(x/a)
電気：伝送線路解
土木：アーチ応力分布

17. 逆三角関数

式: arcsin, arccos, arctan

応用例

機械：ロボットアーム θ=arctan(y/x)
電気：PLL位相差 θ=arctan(Q/I)
土木：測量 θ=arctan(H/D)

18. ガンマ関数

式: Γ(n)=∫₀^∞ t^(n−1) e^(−t) dt

応用例

機械：疲労分布（ワイブル分布に関連）
電気：信号の確率解析
土木：寿命分布の計算

19. シグモイド関数・ReLU

式: sigmoid(x)=1/(1+e^(−x)), ReLU=max(0,x)

応用例

機械：制御入力の滑らかな制限
電気：ニューラルネットの活性化関数
土木：非線形データ近似