Pythonプログラミングで学ぶ高専微基礎数学

第1章　数と式の計算

1. 数とその計算

• 数学内容：有理数・無理数、指数法則、絶対値の定義、平方根の性質。

• 工学応用：

  • 単位変換（例：mA → µA → nA）、オームの法則計算。
  • 精度管理（有効数字や誤差範囲の扱い）。
  • 物理定数のスケーリング（電子の電荷 e ≈ 1.6×10⁻¹⁹C など）。

2. 整式の計算

• 数学内容：展開、因数分解、多項式の加減乗除。

• 工学応用：

  • 制御工学の伝達関数（分子・分母の展開）。
  • 信号処理における z 変換の分母多項式。
  • 電磁波解析の特性方程式。

3. 整式の除法

• 数学内容：余りの定理、因数定理、整式の割り算。

• 工学応用：

  • システムの極と零点の解析。
  • 回路のインピーダンス関数の安定性解析。

4. 方程式

• 数学内容：一次方程式・二次方程式、解の公式、判別式。

• 工学応用：

  • 振動回路（LC回路）の固有周波数解。
  • 力学での運動方程式解（放物運動、摩擦を含む場合）。
  • 制御工学での特性方程式（システム安定性判定）。

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第2章　集合と論理

5. 集合と論理

• 数学内容：集合の表現、Venn図、集合演算、論理記号。

• 工学応用：

  • デジタル回路設計（AND, OR, NOT のゲート回路）。
  • 真理値表と論理演算 → CPU・FPGA設計基礎。
  • 信号系統分類（フィルタバンクや通信路選択）。

6. 等式と不等式の証明

• 数学内容：同値変形、背理法、数学的帰納法。

• 工学応用：

  • 構造物の強度設計における「安全率」の数式化。
  • アルゴリズム設計での正当性証明。
  • 不等式で表す許容誤差・許容電流。

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第3章　いろいろな関数

7. 2次関数とそのグラフ

• 数学内容：放物線、頂点の位置、最大最小。

• 工学応用：

  • 放物運動の解析（投射角度と飛距離）。
  • アンテナの放射パターン。
  • レンズの焦点特性。

8. 2次関数と2次方程式・2次不等式

• 数学内容：解の判別式とグラフの関係。

• 工学応用：

  • RLC回路の共振周波数解。
  • 振動系の安定性解析（臨界減衰条件）。

9. 関数とグラフ

• 数学内容：逆関数、合成関数、グラフの平行移動。

• 工学応用：

  • センサの非線形補正。
  • 音声信号処理（入力信号と出力波形の関数関係）。
  • 入出力関数のモデリング。

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第4章　指数関数と対数関数

10. 指数関数

• 数学内容：a^x の定義、性質、増加関数。

• 工学応用：

  • RC回路の放電曲線 v(t)=V₀e^(−t/RC)。
  • 放射線の減衰。
  • 人口増加モデル。

11. 対数関数

• 数学内容：log の性質、底の変換公式。

• 工学応用：

  • デシベル表記 (20log₁₀(Vout/Vin))。
  • 音響工学・無線通信の信号強度表現。
  • 化学分野：pH = −log₁₀[H⁺]。

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第5章　三角関数

12. 三角関数

• 数学内容：単位円による定義、周期性。

• 工学応用：

  • 交流電流の解析（位相差、cosφ）。
  • フーリエ解析の基礎。

13. 三角関数のグラフと方程式・不等式

• 数学内容：周期性・振幅・位相。

• 工学応用：

  • 機械振動解析。
  • 電力の力率補償。

14. 三角関数の加法定理

• 数学内容：sin(a±b), cos(a±b)。

• 工学応用：

  • 信号変調・復調。
  • 干渉・ビート現象。

15. 三角比と三角形への応用

• 数学内容：正弦定理・余弦定理。

• 工学応用：

  • 測量・GPS測位。
  • ロボットアームの運動解析。

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第6章　平面図形

16. 点と直線

• 数学内容：傾き、切片、直線の方程式。

• 工学応用：

  • 画像処理での直線検出（Hough変換）。
  • 構造設計での軸配置。

17. 平面上の曲線

• 数学内容：円、放物線、楕円、双曲線。

• 工学応用：

  • アンテナ（放物面反射）。
  • レンズの形状設計。

18. 平面上の領域

• 数学内容：領域の面積。

• 工学応用：

  • 構造物断面の面積 → 応力分布解析。
  • 重心・慣性モーメント計算。

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第7章　個数の処理

19. 場合の数

• 数学内容：順列・組合せ、二項定理。

• 工学応用：

  • 暗号学（鍵の組合せ数）。
  • 通信工学（符号化のパターン数）。
  • 情報理論（通信路容量の計算）。

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第1章 数と式の計算

1. 数とその計算

• 工学応用課題

1. Pythonで直流回路の電力計算をせよ。I=2A, V=12V のとき P=IV を求めよ。
2. SI単位系で長さ [m] → [mm] → [µm] の変換をPython関数で作成せよ。
3. 電子の電荷 e=1.6×10⁻¹⁹C とアボガドロ数 NA=6.02×10²³ を使って、1 mol の電子の総電荷をPythonで計算せよ。

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2. 整式の計算

• 工学応用課題

1. 制御工学：伝達関数 H(s)=(s+2)(s+3) を展開し、極と零点をSymPyで求めよ。
2. 通信工学：多項式 (x²+1)(x²+4) を展開し、フィルタの特性多項式として根を計算せよ。
3. 機械工学：ばね‐質量系の特性方程式 m s² + c s + k を因数分解して固有振動数を求めよ（m=1, c=2, k=3）。

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3. 整式の除法

• 工学応用課題

1. 回路工学：インピーダンス関数 Z(s)=(s²+3s+2)/(s+1) を割り算して多項式の形に直せ。
2. 制御系：分母多項式 (s²+5s+6) を (s+2) で割り、安定性に関わる余りを求めよ。
3. 通信理論：z変換多項式 (z²−0.5z+0.25) を (z−0.5) で割り、システムの極を確認せよ。

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4. 方程式

• 工学応用課題

1. 力学：放物運動 y=−4.9t²+20t の解から飛距離をPythonで求めよ。
2. 電気回路：LC回路の固有周波数 ω=1/√(LC)。L=1mH, C=1µF のとき ω を計算せよ。
3. 制御工学：特性方程式 s²+2s+2=0 の解を求め、安定かどうか判定せよ。
4. 振動工学：質点の運動方程式 m x''+c x'+k x=0 の判別式をPythonで計算し、振動モードを判定せよ。

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第2章 集合と論理

5. 集合と論理

• 工学応用課題

1. デジタル回路：Pythonで NAND, NOR, XOR の真理値表を作成せよ。
2. FPGA設計：集合 {0,1}³ を生成し、3入力ANDの出力を列に追加せよ。
3. 通信工学：集合 A={AM,FM}, B={PSK,QAM} の直積 A×B を作成し、変調方式の組合せを列挙せよ。
4. システム設計：集合 {A,B,C} の部分集合をすべて生成し、冗長系の構成パターンを列挙せよ。

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6. 等式と不等式の証明

• 工学応用課題

1. 材料力学：応力 σ=F/A の不等式をPythonで計算し、F=1000N, A=10mm² のとき σ≤許容応力(200MPa)を確認せよ。
2. 電気回路：オームの法則 V=IR の検証をPythonで自動化し、I=0.1A, R=47Ω のときVが5V±1%に収まるか判定せよ。
3. 制御工学：不等式 |H(jω)|≤1 を確認するPython関数を作り、H(s)=1/(s+1) で ω=0〜10 の範囲でプロットせよ。

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第3章 いろいろな関数 ― Pythonプログラミング課題

7. 2次関数とそのグラフ（放物線）

1. f(x)=x²−4x+3 を Python でプロットせよ。頂点の座標を求めよ。
2. f(x)=−2x²+8x−5 の最大値を SymPy で計算せよ。
3. 投射運動 y=−4.9t²+10t の軌跡をプロットし、最大高度を求めよ。
4. 投射運動で初速20 m/s、角度30°の場合の飛距離をPythonで計算せよ。
5. アンテナ放射パターンを 2次関数近似して、f(θ)=cos²θ を 0≤θ≤π でプロットせよ。

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8. 2次関数と2次方程式・不等式

1. 方程式 x²−5x+6=0 を解の公式を使ってPythonで解け。
2. 判別式 D=b²−4ac をPython関数に実装し、x²+2x+1=0 の解の重解を確認せよ。
3. 不等式 x²−4≤0 を解き、グラフ上に範囲をハイライトせよ。
4. RLC回路の共振角周波数 ω=1/√(LC) を計算せよ。L=1mH, C=1µF。
5. 減衰振動の判別式 D=c²−4mk をPythonで計算し、過減衰/臨界/不足減衰を判定せよ（m=1, k=4, c=4）。

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9. 関数とグラフ（逆関数・合成関数）

1. f(x)=2x+3 の逆関数をPythonで求めよ。
2. f(x)=x², g(x)=√x の関数をプロットし、逆関数関係を確認せよ。
3. f(x)=sin(x), g(x)=x² の合成関数 g(f(x)) を Python で定義し、x=0〜2πでプロットせよ。
4. 音声信号モデル s(t)=sin(2π100t) をサンプリングし、出力 y(t)=s(t)² をプロットせよ。
5. センサ出力が非線形 f(V)=V²+0.1V のとき、逆関数を近似して入力Vを推定するPython関数を作れ。

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応用演習（統合課題）

1. 放物線 y=ax²+bx+c の係数 a,b,c を入力して、頂点・軸・判別式を自動出力するPythonプログラムを作成せよ。
2. 投射運動のシミュレーションを行い、角度を変化させた場合の飛距離をPythonでプロットせよ。
3. f(x)=x² と g(x)=1/x を同一グラフに描き、交点を数値的に求めよ。
4. 制御工学：伝達関数 H(s)=1/(s²+2s+2) を定義し、極と零点をPythonで計算せよ。
5. 音声処理：f(t)=cos(2πf₁t)+cos(2πf₂t)（f₁=100Hz, f₂=200Hz）の信号を生成し、Matplotlibで波形を描け。

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第4章 指数関数と対数関数 ― Pythonプログラミング課題

10. 指数関数

1. f(x)=2^x を Python で定義し、x=−3〜3 でグラフを描け。
2. f(x)=e^x の微分が e^x になることを SymPy で確認せよ。
3. f(x)=e^(−x) のグラフをプロットし、x→∞ で 0 に収束することを確認せよ。
4. RC回路の放電 v(t)=5·e^(−t/0.1) を t=0〜1 でプロットせよ。
5. 放射性物質の減衰 N(t)=N₀·e^(−λt) を λ=0.1, N₀=100 としてシミュレーションせよ。
6. 人口モデル P(t)=P₀·e^(rt) を r=0.02, P₀=1000 として 100 年後の人口を計算せよ。
7. 連続複利計算 A(t)=P·e^(rt) を Python で計算し、P=100, r=0.05, t=10 の場合を出力せよ。
8. f(x)=exp(−x²) を NumPy でプロットし、ガウス分布の形を確認せよ。
9. e^(jx) の実部と虚部をプロットし、オイラーの公式 e^(jx)=cos(x)+jsin(x) を確認せよ。
10. 微分方程式 dy/dt=−y の解 y(t)=e^(−t) を Python で数値的に確認せよ。

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11. 対数関数

1. f(x)=log(x) を x=0.1〜10 の範囲でプロットせよ。
2. log₁₀(x) と ln(x) を同一グラフに描き、違いを比較せよ。
3. 底の変換公式 logₐ(x)=ln(x)/ln(a) を Python 関数で実装し、a=2, x=8 の場合を計算せよ。
4. デシベル変換 20·log₁₀(Vout/Vin) を関数化し、Vin=1V, Vout=0.5V の場合を求めよ。
5. 通信における SNR=10·log₁₀(Psignal/Pnoise) を計算せよ（Psignal=100, Pnoise=1）。
6. 音の強さ I=10^(L/10) を用い、L=60dB のときの I を計算せよ。
7. 化学における pH=−log₁₀[H⁺] を計算せよ。[H⁺]=1e−7 mol/L の場合を求めよ。
8. 対数グラフを使って y=x² と y=2^x を同一図に描き、成長速度を比較せよ。
9. 対数微分法を使い、f(x)=x^x の導関数を SymPy で求めよ。
10. 対数スケールで RC回路のボード線図を描き、ゲイン特性を確認せよ。

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第5章　三角関数 ― Python演習

12. 三角関数（基礎と周期性）

課題1 sin(x), cos(x) を x=0〜2π で NumPy を使ってプロットせよ。

• ヒント:

  • np.linspace(0, 2*np.pi, 200) で刻みを生成。
  • np.sin(x) と np.cos(x) を計算。
  • plt.plot で重ね書きし、凡例をつける。

課題2 tan(x) のグラフを描き、漸近線の位置を確認せよ。

• ヒント:

  • np.tan(x) を用いる。
  • x=π/2, 3π/2,… に発散 → plt.axvline で縦線を引く。

課題3 sin²(x)+cos²(x)=1 が成り立つことを Python で数値的に確認せよ。

• ヒント:

  • sin(x)**2 + cos(x)**2 を計算し、1との差を np.allclose で確認。

課題4 sin(x) の周期性 f(x)=f(x+2π) を数値計算で確認せよ。

• ヒント:

  • sin(x) と sin(x+2*np.pi) を比較。
  • 差分を出してグラフ化。

課題5 交流電流 i(t)=I₀·sin(ωt+φ) を I₀=10, ω=2π60, φ=π/6 としてプロットせよ。

• ヒント:

  • t = np.linspace(0, 0.05, 1000) (50ms程度)。
  • i = 10*np.sin(2*np.pi*60*t + np.pi/6) を計算。

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13. 三角関数のグラフと方程式・不等式

課題6 sin(x)=0.5 の解を SymPy で求め、数直線にプロットせよ。

• ヒント:

  • sp.solve(sp.Eq(sp.sin(x), 0.5), x) を使う。
  • 0〜2π の解をプロット。

課題7 cos(x)=0 の解を 0〜2π の範囲で求めよ。

• ヒント:

  • x=π/2, 3π/2 が解。
  • solve でも可能。

課題8 y=2·sin(3x) のグラフを描き、振幅・周期を確認せよ。

• ヒント:

  • 振幅=2, 周期=2π/3。
  • プロットして確認。

課題9 不等式 sin(x) > 0 を解き、区間を表示せよ。

• ヒント:

  • SymPy の solveset で不等式を扱う。
  • 解は (0,π) mod 2π。

課題10 振動系 y(t)=sin(2πft) を f=5Hz, 10Hz で描き、周波数による違いを比較せよ。

• ヒント:

  • t=0〜1s を linspace で。
  • sin(2*np.pi*5*t) と sin(2*np.pi*10*t) を重ねて描く。

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14. 三角関数の加法定理

課題11 sin(a+b) と sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b) が等しいことを Python で確認せよ。

• ヒント:

  • SymPy で simplify(sin(a+b) - (sin(a)*cos(b)+cos(a)*sin(b))) → 0 になる。

課題12 cos(a−b) と cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b) の等式を数値的に検証せよ。

• ヒント:

  • NumPy でランダムな a, b を生成。
  • 両辺の差を計算。

課題13 sin(a)+sin(b)=2sin((a+b)/2)cos((a−b)/2) の恒等式を確認せよ。

• ヒント:

  • SymPy の simplify を使う。

課題14 信号変調例：cos(2π10t)·cos(2π2t) をプロットし、和周波・差周波を観察せよ。

• ヒント:

  • cosA cosB = 0.5[cos(A+B)+cos(A−B)] の公式。
  • FFTでスペクトル確認しても良い。

課題15 ビート現象：sin(2π50t)+sin(2π52t) を 0〜1s の範囲でプロットせよ。

• ヒント:

  • sin(2π50t)+sin(2π52t) を時間領域で描く。
  • ゆっくり変動する包絡波が見える。

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15. 三角比と三角形への応用

課題16 三角形の3辺 a=3, b=4, c=5 に対し、余弦定理で角Cを求めよ。

• ヒント:

  • 余弦定理 cosC=(a²+b²−c²)/(2ab)。
  • np.arccos で角度を計算。

課題17 正弦定理を用いて、a=5, A=30°, B=60° のときの辺 b を計算せよ。

• ヒント:

  • a/sinA = b/sinB。
  • sinB=√3/2, sinA=0.5。

課題18 GPS測位モデル：三角測量をシミュレーションし、2点の距離と角度から位置を算出せよ。

• ヒント:

  • 2点 (x1, y1), (x2, y2) と角度から三角測量。
  • 直線の交点を NumPy で計算。

課題19 ロボットアーム（2リンク）の順運動学を Python で計算し、先端座標を出力せよ。

• ヒント:

  • x = l1 cosθ1 + l2 cos(θ1+θ2)。
  • y = l1 sinθ1 + l2 sin(θ1+θ2)。

課題20 振動解析：y(t)=sin(2π60t+φ) と y(t)=sin(2π60t) の位相差 φ=π/3 を確認し、cosφ による力率を計算せよ。

• ヒント:

  • 2波形を重ねて描画。
  • 力率 cosφ=cos(π/3)=0.5。

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第6章 平面図形 ― Python課題

16. 点と直線

1. 2点 (0,0), (2,4) を通る直線の方程式を Python で求め、グラフに描け。
2. 傾き m=2, 切片 b=1 の直線を描け。
3. 点 (3,2) から直線 y=2x+1 への距離を計算せよ。
4. 直線 y=−0.5x+2 と y=2x−1 の交点を計算せよ。
5. 複数の直線 (ランダム生成) を描き、交点を NumPy で求めよ。

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17. 平面上の曲線

1. 半径 r=3 の円の方程式 x²+y²=r² を Python で描け。
2. 放物線 y=x² を描き、頂点を確認せよ。
3. 楕円 x²/9+y²/4=1 を Python で描け。
4. 双曲線 x²−y²=1 を Python で描け。
5. 放物線アンテナの開口径 d=2m, 焦点距離 f=0.5m の形状をシミュレーションせよ。

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18. 平面上の領域

1. 三角形 (0,0), (4,0), (2,3) の面積を計算せよ。
2. 円の面積を数値積分で求めよ (半径 r=2)。
3. 関数 y=x² と y=4 の間の面積を積分で求めよ。
4. 領域をメッシュ化し、重心座標を計算せよ。
5. 長方形断面 (幅=2m, 高さ=3m) の慣性モーメントを計算せよ。

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工学応用課題

1. Hough変換の基本：直線 y=2x+1 のパラメータ (ρ, θ) を求めよ。
2. 放物線反射アンテナ：入射光線を焦点で反射させる様子をプロットせよ。
3. レンズ近似：楕円の曲率半径を計算せよ。
4. 構造物断面：I型鋼の断面形状を定義し、断面二次モーメントを計算せよ。
5. 画像処理応用：ランダム点群に対して最小二乗法直線フィッティングを行え。

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第7章　個数の処理 ― Pythonプログラミング課題

19. 場合の数（順列・組合せ・二項定理）

1. 順列 P(5,3) を Python で計算せよ。
2. 組合せ C(5,3) を Python で計算せよ。
3. n=6, r=0〜6 の二項係数を求め、リストとして表示せよ。
4. 二項定理 (a+b)⁵ を展開し、係数を表示せよ。
5. n=10, p=0.3 の二項分布の確率を全て求めよ。

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応用例（暗号学・通信工学）

1. 4桁の数字暗証番号の総数を求めよ。
2. 英大文字26文字から長さ8のパスワードを作る場合の組合せ数を計算せよ。
3. 鍵長128ビットの暗号鍵の組合せ数を 2ⁿ を用いて計算せよ。
4. エラー検出符号：3ビットの組合せで可能な符号数を求めよ。
5. 通信チャネルが2状態(0,1)を持つ場合、長さ10ビットの全組合せ数を求めよ。

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Pythonで実装する演習

1. itertools を使って、{1,2,3,4} の順列をすべて列挙せよ。
2. itertools を使って、{A,B,C,D} の組合せを2つ選ぶ場合を列挙せよ。
3. n=20, k=10 の組合せ数を math.comb で計算せよ。
4. パスワード総当たり時間：毎秒10⁶回試行できる場合、8文字の小文字パスワード (26文字) を突破するのにかかる時間を計算せよ。
5. 通信符号長 n=7, 情報ビット数 k=4 の場合、可能な符号語の総数を求めよ。

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工学応用（情報理論）

1. 情報エントロピー H=−Σp log₂p を Python で計算せよ (p={0.5,0.25,0.25})。
2. 通信路容量 C=log₂(1+S/N) を S/N=10 で計算せよ。
3. 2進信号を長さ5で送信する場合の全コード数を求めよ。
4. 多重アクセス通信で、4人が2チャンネルを共有するときの割り当て組合せ数を求めよ。
5. 二項分布の近似として正規分布を Python でシミュレーションせよ (n=100, p=0.5)。

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