第1章 数列と関数の極限
-
数列とその和
等比数列・等差数列、収束・発散の判定。 -
数列の極限
無限大・0に収束する数列、発散する数列。 -
関数とその極限
x→a, x→∞ における関数の極限、ε-δ論法の基礎。 -
工学応用：信号サンプリングと収束
- 離散信号に対する収束（例：デジタルフィルタの安定性）。
- サンプリング定理との関係。
- 数列の極限と信号処理アルゴリズムの安定性評価。
第2章 微分法
-
微分法の基本
導関数の定義、増加率と瞬間変化率。 -
いろいろな関数の導関数
指数関数、対数関数、三角関数。 -
微分法の応用
接線の方程式、増減表、最大最小問題。 -
工学応用
- 運動方程式：速度 v = dx/dt、加速度 a = dv/dt。
- 電気回路：電流変化率 di/dt とインダクタ v = L di/dt。
- 機械：応力とひずみの関係（σ=Eε）、時間変化の評価。
第3章 積分法
-
不定積分
公式と手法、部分積分・置換積分。 -
定積分
面積計算、リーマン積分の意味。 -
定積分の応用
面積・体積・平均値。 -
工学応用
- 電気回路：電荷 q(t)=∫i(t)dt、コンデンサ電圧 v=1/C ∫i dt。
- 力学：仕事 W=∫F dx、運動エネルギー計算。
- 熱工学：熱量 Q=∫mcp dT。
- 信号処理：エネルギー積分 E=∫|x(t)|²dt。
第4章 いろいろな微分法と積分法
-
曲線の媒介変数表示と極方程式
極座標曲線、工学図形（スパイラル、放物線）。 -
関数の極限と積分法
不定積分と極限処理。 -
工学応用
- 機械工学：カム曲線設計における媒介変数。
- ロボティクス：軌道計画の曲線表現。
- 安定性解析：関数極限でモデルが安定/不安定かを評価。
第5章 関数の展開
-
関数の展開
テイラー展開、マクローリン展開。
フーリエ展開による周期関数の表現。 -
工学応用
- 信号処理：フーリエ級数を用いた周期信号解析。
- 回路工学：フィルタ周波数応答の解析。
- 振動解析：複雑な入力波形をフーリエ級数で展開し、共振応答を計算。
第6章 偏微分法
-
偏導関数
多変数関数の導関数、勾配ベクトル。 -
偏導関数の応用
ラグランジュ未定乗数法による制約付き最適化。 -
工学応用
- 熱伝導方程式 ∂u/∂t = α ∂²u/∂x²。
- 波動方程式 ∂²u/∂t² = c² ∂²u/∂x²。
- 電磁場：マクスウェル方程式（∇×E = −∂B/∂t）。
- 機械学習：損失関数の勾配降下法。
第7章 2重積分
-
2重積分の基礎
領域積分、極座標変換。 -
工学応用
- 電磁場：エネルギー W=½∬ε|E|² dV。
- 構造力学：断面二次モーメント I=∬y² dA。
- 流体力学：流量 Q=∬v·dA。
- 質量分布：重心 (x̄,ȳ) = (1/M) ∬ xρ(x,y) dA。
第1章 数列と関数の極限 ― Python課題
課題1-1
等差数列 an = 2n+1 の最初の10項を Python で表示せよ。
ヒント: for ループまたは list comprehension。
課題1-2
等比数列 an = (1/2)^n を n=1〜20 まで計算してプロットせよ。
ヒント: matplotlib.pyplot.plot。
課題1-3
数列 an = (n+1)/n を n=1〜1000 まで計算し、lim n→∞ an を推定せよ。
ヒント: 最後の値を表示。
課題1-4
数列 an = (−1)^n を n=1〜20 まで表示せよ。
収束か発散かを考察せよ。
課題1-5
数列 an = n/(n+1) を Python で計算し、収束先を数値的に確認せよ。
ヒント: np.arange を使う。
課題1-6
数列 an = sin(n)/n を n=1〜1000 まで計算し、収束を確認せよ。
ヒント: numpy.sin。
課題1-7
数列 an = (1+1/n)^n を n=1〜1000 まで計算し、e ≈ 2.718 に収束することを確認せよ。
課題1-8
数列 an = (1−1/n)^n を計算し、極限を確認せよ。
ヒント: → 1/e に収束。
課題1-9
数列 an = n^0.5 / n を計算し、lim n→∞ を確認せよ。
ヒント: 1/√n → 0。
課題1-10
関数 f(x) = (sin x)/x の極限 lim x→0 を数値的に近似せよ。
ヒント: np.linspace(-0.1,0.1,100) で計算。
課題1-11
関数 f(x) = (1−cos x)/x^2 の極限 lim x→0 を数値的に確認せよ。
ヒント: → 1/2。
課題1-12
関数 f(x) = (x^2−1)/(x−1) の lim x→1 を数値的に計算せよ。
ヒント: → 2。
課題1-13
ε-δ論法のイメージ: f(x)=x^2 について、x→2 のとき f(x)→4 を数値的に ε=0.1 の範囲で確認せよ。
課題1-14
数列 an = (n+sin n)/n を計算し、lim n→∞ = 1 を確認せよ。
課題1-15
数列 an = ln(n+1)−ln(n) を計算し、lim n→∞ = 0 を確認せよ。
ヒント: 対数関数。
課題1-16
信号処理応用: FIRフィルタのインパルス応答 h[n]= (1/3) for n=0,1,2 を定義し、インパルス入力を畳み込みして出力を表示せよ。
ヒント: np.convolve。
課題1-17
IIRフィルタ y[n] = 0.5 y[n−1] + x[n] をステップ入力でシミュレーションし、収束を確認せよ。
ヒント: forループ。
課題1-18
サンプリング定理: f(t)=sin(2π50t) を fs=200Hz でサンプリングし、プロットせよ。
ヒント: np.linspace。
課題1-19
サンプリング定理違反: f(t)=sin(2π150t) を fs=200Hz でサンプリングし、エイリアシングを確認せよ。
課題1-20
数列の極限と安定性: y[n] = 0.9 y[n−1] を初期値 y[0]=1 でシミュレーションし、n→∞ で 0 に収束することを確認せよ。
ヒント: forループまたは再帰計算。
第2章 微分法 ― Python課題
課題2-1
導関数の定義
関数 f(x)=x² の導関数を極限定義
f’(x)=lim(h→0)[f(x+h)−f(x)]/h で近似計算せよ。
ヒント: h=1e−5 を使う。
課題2-2
関数 f(x)=x³−3x²+2x の導関数を sympy で求めよ。
ヒント: diff を使用。
課題2-3
指数関数 f(x)=e^x の導関数を数値微分で計算し、理論値 e^x と比較せよ。
課題2-4
対数関数 f(x)=ln(x) の導関数を数値微分で近似し、理論値 1/x と比較せよ。
課題2-5
三角関数 f(x)=sin(x) の導関数を数値微分し、cos(x) と比較せよ。
課題2-6
関数 f(x)=cos(x) の導関数を sympy で計算せよ。
ヒント: −sin(x) が出ることを確認。
課題2-7
接線の方程式: f(x)=x² において、x=1 の接線を Python で求め、グラフに描け。
ヒント: y=f’(1)(x−1)+f(1)。
課題2-8
関数 f(x)=x³−6x²+9x+1 の増減表を作成し、極大・極小を Python で数値的に求めよ。
課題2-9
最大最小問題: 長さ10の周囲を持つ長方形の面積を最大化せよ。
ヒント: A=xy, 制約 2(x+y)=10。微分で最適解。
課題2-10
速度と加速度: x(t)=t³−3t²+2t の速度 v(t), 加速度 a(t) を Python で計算せよ。
課題2-11
物体落下: x(t)=1/2 g t² を微分して速度 v=g t を確認せよ。
g=9.8 m/s² を使用。
課題2-12
単振動: x(t)=sin(2πft) の速度と加速度を微分で求めよ。
ヒント: v=2πf cos(2πft), a=−(2πf)² sin(2πft)。
課題2-13
インダクタ回路: i(t)=sin(100t) を L=1mH に流したときの v=L di/dt を Python で計算せよ。
課題2-14
コンデンサ回路: v(t)=cos(100t), C=1µF の場合、i=C dv/dt を Python で計算せよ。
課題2-15
応力とひずみ: ε(t)=0.01 t のとき σ=Eε を微分し、dσ/dt を計算せよ。
E=200 GPa とする。
課題2-16
ニュートン冷却則: T(t)=Tenv+(T0−Tenv)e^(−kt) を微分し、冷却速度 dT/dt を Python で確認せよ。
課題2-17
人口モデル: P(t)=P0 e^(rt) を微分して成長速度 dP/dt を確認せよ。
P0=100, r=0.05。
課題2-18
ロジスティック成長: P(t)=K/(1+Ae^(−rt)) を微分して成長率を求めよ。
K=1000, r=0.1, A=9。
課題2-19
フィルタ応答: y(t)=e^(−t)sin(10t) を微分して出力の変化率を数値的に計算せよ。
課題2-20
数値微分アルゴリズム: 前進差分・中心差分・後退差分を Python で実装し、f(x)=sin(x) の導関数精度を比較せよ。
第3章 積分法 ― Python課題
課題3-1
f(x)=x² の不定積分を sympy で計算せよ。
ヒント: integrate(x**2, x) を使う。
課題3-2
f(x)=sin(x) の不定積分を sympy で求めよ。
課題3-3
置換積分: ∫2x cos(x²) dx を sympy で計算せよ。
課題3-4
部分積分: ∫x e^x dx を sympy で計算せよ。
課題3-5
定積分: ∫₀¹ x² dx を sympy で計算せよ。理論値 1/3 と比較せよ。
課題3-6
定積分: ∫₀^π sin(x) dx を sympy で計算せよ。結果が2になることを確認せよ。
課題3-7
数値積分: f(x)=e^(−x²) を区間[0,1]で積分し、scipy の quad を使って数値計算せよ。
課題3-8
リーマン和近似: f(x)=x² を区間[0,1]で区切り数 n=100 でリーマン和を実装し、定積分値と比較せよ。
課題3-9
面積計算: y=x² と y=√x の交点で囲まれた領域の面積を定積分で求めよ。
課題3-10
回転体の体積: 半径 r=1 の円を x軸まわりに回転させた体積（球の体積 4/3πr³）を定積分で計算せよ。
課題3-11
平均値: f(x)=x² を [0,2] で積分して関数の平均値を求めよ。
ヒント: 平均値 = (1/(b−a))∫ₐᵇ f(x) dx。
課題3-12
電気回路: i(t)=sin(t), C=1µF のとき v(t)=(1/C)∫i dt を Python でシミュレーションせよ。
課題3-13
電荷計算: i(t)=0.01 t A を t=0〜10s で流したとき、電荷 q(t)=∫i dt を Python で計算せよ。
課題3-14
力学: F(x)=kx, k=10 N/m のバネを x=0〜0.2m 伸ばしたときの仕事 W=∫F dx を計算せよ。
課題3-15
運動エネルギー: m=1kg, v(t)=t² の場合、運動エネルギー E=∫ m v dv を積分で確認せよ。
課題3-16
熱工学: m=1kg, cp=1000 J/kgK, T=300〜350K のとき Q=∫ mcp dT を計算せよ。
課題3-17
信号処理: x(t)=sin(2πft), f=50Hz のエネルギー積分 E=∫|x(t)|² dt を 0〜1s の範囲で数値積分せよ。
課題3-18
確率: 確率密度関数 f(x)=e^(−x), x≥0 のとき、∫₀^∞ f(x) dx=1 になることを数値積分で確認せよ。
課題3-19
ガウス積分: ∫₋∞^∞ e^(−x²) dx を数値積分し、√π に近いことを確認せよ。
課題3-20
フーリエ係数: f(x)=x, 区間 [−π,π] の a₀, aₙ, bₙ を定積分で計算し、Python で部分和を再現せよ。
第4章 いろいろな微分法と積分法 ― Pythonプログラミング課題
課題4-1
媒介変数表示 x(t)=cos(t), y(t)=sin(t) を Python で定義し、t=0〜2π の曲線をプロットせよ。
ヒント: parametric plot。
課題4-2
極方程式 r(θ)=1+cos(θ) を Python で極座標プロットせよ。
ヒント: matplotlib の polar プロットを利用。
課題4-3
アーキメデスの螺旋 r=aθ を a=0.1 として θ=0〜4π でプロットせよ。
課題4-4
放物線の媒介変数表示 x=2t, y=t² を Python で描画せよ。
課題4-5
媒介変数表示 x(t)=t−sin(t), y(t)=1−cos(t) の曲線を描け。
ヒント: サイクロイド。
課題4-6
媒介変数表示での速度ベクトル (dx/dt, dy/dt) を計算し、曲線上に矢印で表示せよ。
課題4-7
媒介変数表示の曲線長 L=∫√((dx/dt)²+(dy/dt)²) dt を数値積分で求めよ。
課題4-8
媒介変数表示の曲線の曲率 κ=|x'y''−y'x''| / (x'²+y'²)^(3/2) を計算せよ。
課題4-9
極方程式 r=cos(2θ) を 0〜2π でプロットし、花形曲線を描け。
課題4-10
極方程式 r=a(1−cosθ) の面積を定積分で求めよ。
ヒント: 面積=1/2 ∫ r² dθ。
課題4-11
不定積分 ∫ (sinx)/x dx を sympy で計算し、特殊関数 Si(x) が現れることを確認せよ。
課題4-12
極限 lim (x→0) (sinx/x) を Python で数値的に確認せよ。
課題4-13
極限 lim (x→∞) (1+1/x)^x を計算し、e に収束することを確認せよ。
課題4-14
関数 f(x)=1/x の積分 ∫₁^∞ 1/x dx が発散することを Python で数値的に確認せよ。
課題4-15
ガンマ関数 Γ(n)=∫₀^∞ x^(n−1) e^(−x) dx を数値積分で実装し、n=1,2,3 の値を確認せよ。
課題4-16
媒介変数表示でロボットの軌道 x(t)=cos(t), y(t)=sin(2t) を描画し、非円軌道を確認せよ。
課題4-17
安定性解析: f(x)=1/(1+x²) の極限 lim (x→∞) f(x) を Python で確認し、安定収束することを示せ。
課題4-18
安定性解析: f(x)=e^x の極限 lim (x→∞) f(x) を確認し、発散することを確認せよ。
課題4-19
媒介変数表示を用いてカム曲線 x(t)=t, y(t)=1−cos(t) を描画せよ。
課題4-20
極方程式 r=θ の曲線を θ=0〜6π でプロットし、スパイラルの広がりを確認せよ。
第5章 関数の展開 ― Pythonプログラミング課題
課題5-1
関数 f(x)=e^x を 0 点まわりで 5 次までマクローリン展開し、元の関数と近似の差をプロットせよ。
ヒント: sympy.series を利用。
課題5-2
関数 f(x)=sin(x) を 0 点まわりで 7 次まで展開し、近似と実際の sin(x) を比較せよ。
課題5-3
関数 f(x)=ln(1+x) を 0 点まわりで 5 次まで展開し、x=0.1〜1 の範囲で近似誤差を確認せよ。
課題5-4
関数 f(x)=cos(x) のマクローリン展開を 10 次まで行い、近似精度を確認せよ。
課題5-5
テイラー展開の一般式を Python 関数で実装し、任意の f(x), 展開点 a, 展開次数 n を指定して展開できるようにせよ。
課題5-6
周期関数 f(x)=x (−π < x < π) をフーリエ級数展開し、部分和を 1, 3, 10 項でプロットせよ。
課題5-7
方形波 f(x)=sgn(sin(x)) をフーリエ級数展開し、オーバーシュート（ギブス現象）を確認せよ。
課題5-8
三角波をフーリエ級数で展開し、3 項, 10 項, 50 項の近似を比較せよ。
課題5-9
フーリエ級数展開で得られる係数 an, bn を Python 関数で計算し、数値的に確認せよ。
課題5-10
フーリエ展開で得られる周波数スペクトルを棒グラフで表示せよ。
課題5-11
関数 f(x)=|x| (−π<x<π) をフーリエ級数展開し、部分和の収束を確認せよ。
課題5-12
信号処理応用: 周期信号 f(t)=sin(t)+0.5sin(3t) をフーリエ展開し、周波数成分を確認せよ。
課題5-13
フィルタ応用: ローパスフィルタのインパルス応答 h(t)=sinc(t) をフーリエ変換して、周波数特性を確認せよ。
課題5-14
振動解析: 入力 f(t)=矩形波をフーリエ展開し、単振動系の応答を計算せよ。
課題5-15
関数 f(x)=exp(−x²) をテイラー展開とフーリエ変換の両方で近似し、比較せよ。
課題5-16
フーリエ級数展開を用いて周期信号を合成し、元の関数との誤差を計算せよ。
課題5-17
関数 f(x)=1/(1+x²) を −π〜π でフーリエ展開し、部分和を確認せよ。
課題5-18
ランダムな周期関数を定義し、FFT を使ってフーリエ係数を推定せよ。
課題5-19
部分和の収束速度を確認せよ。三角波と矩形波で項数を変えたときの誤差をプロット。
課題5-20
フーリエ級数の理論式と FFT の数値結果を比較し、誤差を解析せよ。
第6章 偏微分法 ― Pythonプログラミング課題
課題6-1
関数 f(x,y)=x²+y² の ∂f/∂x, ∂f/∂y を Python (sympy) で計算せよ。
課題6-2
f(x,y)=sin(xy) の勾配ベクトル ∇f を計算せよ。
課題6-3
f(x,y,z)=x²+2y²+3z² のヘッセ行列を Python で計算せよ。
課題6-4
f(x,y)=x²+y² の等高線と勾配ベクトルを matplotlib で可視化せよ。
課題6-5
f(x,y)=e^(−(x²+y²)) の ∇f を計算し、ベクトル場をプロットせよ。
課題6-6
制約条件 g(x,y)=x+y−1=0 の下で f(x,y)=x²+y² を最小化せよ。
ヒント: ラグランジュ未定乗数法を sympy.solve で実装。
課題6-7
f(x,y)=x²+xy+y² の最小値を ∂f/∂x=0, ∂f/∂y=0 から求めよ。
課題6-8
f(x,y)=sin(x)+cos(y) の鞍点を Python で計算せよ。
課題6-9
熱伝導方程式 ∂u/∂t = α∂²u/∂x² を1次元差分法で数値解け。
課題6-10
波動方程式 ∂²u/∂t²=c²∂²u/∂x² を差分法で解き、時間発展をアニメーションで表示せよ。
課題6-11
マクスウェル方程式の1次元版 ∂E/∂t=−∂B/∂x, ∂B/∂t=−∂E/∂x をシミュレーションせよ。
課題6-12
機械学習: 二乗誤差損失 L(w)=∑(y−wx)² の ∂L/∂w を Python で導出し、数値確認せよ。
課題6-13
勾配降下法で y=x² の最小値を探索せよ。初期値 x0=5, 学習率=0.1。
課題6-14
2変数関数 f(x,y)=x²+y² を勾配降下法で最小化せよ。
課題6-15
f(x,y)=x³−3xy² の偏導関数を求め、臨界点を分類せよ。
課題6-16
f(x,y)=x²y−y³ の等高線図を描き、勾配ベクトルをプロットせよ。
課題6-17
f(x,y)=exp(xy) のヘッセ行列を求め、固有値を計算して凸性を判定せよ。
課題6-18
ラグランジュ乗数法で f(x,y)=xy を制約 x²+y²=1 の下で最大化せよ。
課題6-19
f(x,y)=ln(x)+ln(y) を制約 x+y=10 で最適化せよ。
課題6-20
勾配ベクトル場を Quiver プロットで可視化し、最急降下方向を示せ。
第7章 2重積分 ― Pythonプログラミング課題
課題7-1
f(x,y)=x+y を矩形領域 [0,1]×[0,1] で積分せよ。
課題7-2
f(x,y)=x²+y² を領域 [0,1]×[0,1] で積分し、数値解と解析解を比較せよ。
課題7-3
f(x,y)=sin(x)cos(y) を領域 [0,π]×[0,π/2] で積分せよ。
課題7-4
f(x,y)=1 を半径1の円領域で積分し、面積 π を確認せよ。
課題7-5
極座標変換を用いて f(r,θ)=r を領域 r∈[0,1], θ∈[0,2π] で積分せよ。
課題7-6
関数 f(x,y)=x を領域 0≤y≤x≤1 で積分せよ。
課題7-7
f(x,y)=xy を領域 0≤x≤1, 0≤y≤2 で積分せよ。
課題7-8
f(x,y)=exp(−(x²+y²)) を領域 [−∞,∞]² で積分し、π を確認せよ。
課題7-9
関数 f(x,y)=y² を三角形領域 (0,0),(1,0),(1,1) で積分せよ。
課題7-10
断面二次モーメント I=∬y² dA を矩形断面 b=2,h=1 で計算せよ。
課題7-11
円断面半径 r=1 の断面二次モーメントを 2重積分で求めよ。
課題7-12
電場エネルギー W=½∬ε|E|² dV を E=1V/m, ε=8.85e−12, 立方体体積=1m³ で計算せよ。
課題7-13
流量 Q=∬v·dA を速度 v=2m/s, 面積=0.1m² で計算せよ。
課題7-14
質量分布 ρ(x,y)=1 の場合の重心 (x̄,ȳ) を領域 [0,1]×[0,1] で計算せよ。
課題7-15
ρ(x,y)=x の場合の重心を同領域で計算せよ。
課題7-16
ρ(x,y)=x+y の場合の重心を同領域で計算せよ。
課題7-17
矩形領域 [0,a]×[0,b] の重心を一般式で計算し、a=2,b=3 の場合を確認せよ。
課題7-18
三角形領域 (0,0),(a,0),(0,b) の重心を 2重積分で求めよ。
課題7-19
流速 v(x,y)=x を領域 [0,1]×[0,1] で積分し、流量を計算せよ。
課題7-20
f(x,y)=cos(x²+y²) を領域 [0,1]×[0,1] で積分せよ。
課題7-21
f(x,y)=x e^(−x²−y²) を領域 R² で積分し、偏微分法と比較せよ。
課題7-22
ガウス積分を数値的に計算せよ。 ∫∫exp(−(x²+y²)) dxdy。
課題7-23
矩形領域でモンテカルロ積分を実装し、f(x,y)=x²+y² を計算せよ。
課題7-24
円領域でモンテカルロ積分を実装し、円面積を推定せよ。
課題7-25
重積分を数値積分 (scipy.dblquad) で解き、シンボリック計算と比較せよ。
課題7-26
f(x,y)=x²+y を領域 [0,1]×[0,2] で積分せよ。
課題7-27
関数 f(x,y)=sin(xy) を領域 [0,1]×[0,1] で積分せよ。
課題7-28
f(x,y)=e^(x+y) を領域 [0,1]×[0,1] で積分せよ。
課題7-29
f(x,y)=x y² を領域 0≤x≤1, 0≤y≤1−x で積分せよ。
課題7-30
関数 f(x,y)=1 を円環領域 r∈[1,2], θ∈[0,2π] で積分し、面積を求めよ。
課題7-31
f(x,y)=r² を円領域 r∈[0,1], θ∈[0,2π] で積分せよ。
課題7-32
極座標で ∫∫ e^(−r²) r dr dθ を計算せよ。
課題7-33
矩形領域で格子点を使い、数値積分を近似的に計算せよ。
課題7-34
重積分の順序を変えて f(x,y)=x+y を領域 [0,1]×[0,1] で計算せよ。
課題7-35
直方体領域で ∭ f(x,y,z)=x+y+z を数値積分し、拡張版を確認せよ。
課題7-36
質量 M=∬ρ(x,y)dA を ρ(x,y)=x²+y² のときに計算せよ。
課題7-37
f(x,y)=xy を台形領域 (0,0),(1,0),(1,1),(0,2) で積分せよ。
課題7-38
矩形領域で台形公式による数値積分を実装し、精度を確認せよ。
課題7-39
f(x,y)=exp(x)cos(y) を領域 [0,1]×[0,π/2] で積分せよ。
課題7-40
重心 (x̄,ȳ) を ρ(x,y)=1 の円領域 r≤1 で積分により求めよ。