はじめに
# 数学問題テンプレート
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[問題番号 / Question]
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ここに問題文を書く
(例) Solve the quadratic equation: x^2 - 5x + 6 = 0
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[解説 / Explanation]
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ここに解法と説明を書く
(例)
Step 1: Factorize the quadratic → (x - 2)(x - 3) = 0
Step 2: Solve each factor → x = 2 or x = 3
日本語で補足：因数分解を行うと (x - 2)(x - 3) となり、それぞれの因数を0とおくと解が得られる。
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[ウルフラムリンク / WolframAlpha Link] ※プロットは禁止
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ここにリンクを貼る
(例) https://www.wolframalpha.com/input?i=solve+x^2-5x%2B6%3D0
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[参考文献 / References]
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ここに参考書籍や論文、Webページを記載
(例) なし
1
問題 / Question
次の式を簡単にせよ。
3² × 3³
(2³)²
a²b × ab³
2xyz² × 3x²y²z × 4x²yz
(−2xy²)² × (−3xy)³ × x²y
解説 / Explanation
(1) 3² × 3³
Rule: a^m × a^n = a^(m+n)
→ 3^(2+3) = 3⁵ = 243
日本語補足: 同じ底 3 の掛け算は指数を足す。
(2) (2³)²
Rule: (a^m)^n = a^(m×n)
→ 2^(3×2) = 2⁶ = 64
日本語補足: 累乗の累乗は指数を掛ける。
(3) a²b × ab³
Rule: a^m × a^n = a^(m+n), b^m × b^n = b^(m+n)
→ a^(2+1) b^(1+3) = a³b⁴
日本語補足: a と b をそれぞれまとめる。
(4) 2xyz² × 3x²y²z × 4x²yz
= (2×3×4) × x^(1+2+2) × y^(1+2+1) × z^(2+1+1)
= 24x⁵y⁴z⁴
日本語補足: 係数を掛け、各文字の指数を足す。
(5) (−2xy²)² × (−3xy)³ × x²y
= ( (−2)² × x² × y⁴ ) × ( (−3)³ × x³ × y³ ) × (x²y)
= (4x²y⁴) × (−27x³y³) × (x²y)
= −108x^(2+3+2) y^(4+3+1)
= −108x⁷y⁸
日本語補足: マイナス符号の累乗に注意。奇数乗は負になる。
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参考文献 / References
2
問題 / Question
A = x² - 2x + 3, B = 2x² + 4x - 2 のとき、
A + B, A - B を計算せよ。
解説 / Explanation
Step 1: A + B
A + B = (x² - 2x + 3) + (2x² + 4x - 2)
= (x² + 2x²) + (−2x + 4x) + (3 − 2)
= 3x² + 2x + 1
日本語補足: 同類項（x², x, 定数）をそれぞれまとめる。
Step 2: A − B
A − B = (x² - 2x + 3) − (2x² + 4x - 2)
= (x² − 2x²) + (−2x − 4x) + (3 + 2)
= −x² − 6x + 5
日本語補足: 引き算のときは符号に注意。特に −(−2) = +2 のように定数部分で間違えやすい。
ウルフラムリンク / WolframAlpha Link ※プロット禁止
参考文献 / References
なし
3：式の展開
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[問題番号 / Question]
(1) (x + y − z)(x − y + z)
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[解説 / Explanation]
Step 1: y − z = u とおくと、与式は (x + u)(x − u)。
Step 2: (a + b)(a − b) = a² − b² を使う。
→ x² − u²
Step 3: u = y − z を戻す。
= x² − (y − z)²
= x² − (y² − 2yz + z²)
= x² − y² + 2yz − z²
日本語補足：和と差の積の公式を使うと効率的に展開できる。
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[ウルフラムリンク / WolframAlpha Link]
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[参考文献 / References]
なし
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[問題番号 / Question]
(2) (x² + x − 2)(2x² + 2x + 3)
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[解説 / Explanation]
Step 1: 項ごとに展開する。
= (x²)(2x² + 2x + 3) + (x)(2x² + 2x + 3) + (−2)(2x² + 2x + 3)
Step 2: 計算する。
= 2x⁴ + 2x³ + 3x² + 2x³ + 2x² + 3x − 4x² − 4x − 6
Step 3: 同類項をまとめる。
= 2x⁴ + 4x³ + 3x² − x − 6
日本語補足：多項式同士の展開は一つ一つ掛け算してから整理する。
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[ウルフラムリンク / WolframAlpha Link]
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[参考文献 / References]
なし
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[問題番号 / Question]
(3) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)
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[解説 / Explanation]
Step 1: 2つずつ括る。
= {(x + 1)(x + 4)}{(x + 2)(x + 3)}
Step 2: 展開。
= (x² + 5x + 4)(x² + 5x + 6)
Step 3: t = x² + 5x とおくと、(t + 4)(t + 6) = t² + 10t + 24
Step 4: 戻す。
= (x² + 5x)² + 10(x² + 5x) + 24
= x⁴ + 10x³ + 35x² + 50x + 24
日本語補足：対象的な4つの連続因数は「まとめてから展開」すると効率的。
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[ウルフラムリンク / WolframAlpha Link]
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[参考文献 / References]
なし
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[問題番号 / Question]
(4) (a − b)(a + b)(a² + b²)
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[解説 / Explanation]
Step 1: (a − b)(a + b) = a² − b²
Step 2: (a² − b²)(a² + b²) = a⁴ − b⁴
日本語補足：平方差の公式を利用すると簡単に計算できる。
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[ウルフラムリンク / WolframAlpha Link]
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[参考文献 / References]
なし
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[問題番号 / Question]
(5) (a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca)
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[解説 / Explanation]
Step 1: 展開の公式を知っている場合
= a³ + b³ + c³ − 3abc
Step 2: 確認のため展開。
(a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca)
= a³ + b³ + c³ − 3abc
日本語補足：和と二次式の積は「立方和 − 3abc」に整理される。
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[ウルフラムリンク / WolframAlpha Link]
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[参考文献 / References]
なし
4
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[問題番号 / Question]
(1) 2x³ − x² − 18x + 9 を因数分解せよ。
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[解説 / Explanation]
Step 1: グループ分け。
= (2x³ − x²) − (18x − 9)
Step 2: それぞれ因数分解。
= x²(2x − 1) − 9(2x − 1)
Step 3: 共通因数をまとめる。
= (2x − 1)(x² − 9)
Step 4: さらに因数分解。
= (2x − 1)(x − 3)(x + 3)
日本語補足：共通因数くくり出し→平方差の順に展開。
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[ウルフラムリンク / WolframAlpha Link]
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[参考文献 / References]
なし
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[問題番号 / Question]
(2) 1 + x + y + xy を因数分解せよ。
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[解説 / Explanation]
Step 1: 項をまとめる。
= (1 + x) + (y + xy)
Step 2: くくり出し。
= (1 + x)(1 + y)
日本語補足：1 + x と 1 + y の積に整理できる。
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[ウルフラムリンク / WolframAlpha Link]
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[参考文献 / References]
なし
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[問題番号 / Question]
(3) 3a⁴b − 2a³b² − a²b³ を因数分解せよ。
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[解説 / Explanation]
Step 1: 共通因数をくくる。
= a²b(3a² − 2ab − b²)
Step 2: カッコ内を因数分解。
= a²b[(3a² − 3ab) + (ab − b²)]
= a²b[3a(a − b) + b(a − b)]
= a²b(3a + b)(a − b)
日本語補足：次数が揃っているので a²b をまずくくる。
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[ウルフラムリンク / WolframAlpha Link]
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[参考文献 / References]
なし
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[問題番号 / Question]
(4) x⁴ − 13x² + 36 を因数分解せよ。
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[解説 / Explanation]
Step 1: x² = t とおく。
= t² − 13t + 36
Step 2: 因数分解。
= (t − 9)(t − 4)
Step 3: 戻す。
= (x² − 9)(x² − 4)
= (x − 3)(x + 3)(x − 2)(x + 2)
日本語補足：置換して二次式にすると簡単に展開できる。
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[ウルフラムリンク / WolframAlpha Link]
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[参考文献 / References]
なし
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[問題番号 / Question]
(5) (x² − 3x − 3)(x² − 3x + 1) − 5 を因数分解せよ。
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[解説 / Explanation]
Step 1: x² − 3x = t とおく。
与式 = (t − 3)(t + 1) − 5
Step 2: 展開。
= t² − 2t − 3 − 5
= t² − 2t − 8
Step 3: 因数分解。
= (t − 4)(t + 2)
Step 4: 戻す。
= (x² − 3x − 4)(x² − 3x + 2)
日本語補足：複雑な形は置換でシンプルに。
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[ウルフラムリンク / WolframAlpha Link]
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[参考文献 / References]
なし
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[問題番号 / Question]
(6) xyz + xy + yz + zx + x + y + z + 1 を因数分解せよ。
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[解説 / Explanation]
Step 1: グループ化。
= (xyz + xy) + (yz + z) + (zx + x) + 1
Step 2: 因数分解の形を探す。
= (x + 1)(y + 1)(z + 1)
日本語補足：全ての項が三重積展開の一部になっている。
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[ウルフラムリンク / WolframAlpha Link]
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[参考文献 / References]
なし
5
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[問題番号 / Question]
(1) $x + y = 2,; xy = -1$ のとき、次の各式の値を求めよ。
(i) $x^2 + y^2$
(ii) $x^3 + y^3$
(iii) $x^4 + y^4$
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[解説 / Explanation]
(i) $(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$
→ $2^2 = x^2 + y^2 + 2(-1)$
→ $4 = x^2 + y^2 - 2$
→ $x^2 + y^2 = 6$
(ii) $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 + y^2 - xy)$
= $2(6 - (-1)) = 2 \times 7 = 14$
(iii) $x^4 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 - 2(xy)^2$
= $6^2 - 2 \times 1 = 36 - 2 = 34$
日本語補足：対称式は「和」と「積」に書き換えて計算するのが基本。
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[ウルフラムリンク / WolframAlpha Link]
https://www.wolframalpha.com/input?i=x%2By%3D2%2C+xy%3D-1%2C+x%5E2%2By%5E2
https://www.wolframalpha.com/input?i=x%2By%3D2%2C+xy%3D-1%2C+x%5E3%2By%5E3
https://www.wolframalpha.com/input?i=x%2By%3D2%2C+xy%3D-1%2C+x%5E4%2By%5E4
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[参考文献 / References]
なし
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[問題番号 / Question]
(2) $x + \dfrac{1}{x} = 4$ のとき、次の各式の値を求めよ。
(i) $x^2 + \dfrac{1}{x^2}$
(ii) $x^3 + \dfrac{1}{x^3}$
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[解説 / Explanation]
(i) $(x + 1/x)^2 = x^2 + 1/x^2 + 2$
→ $4^2 = x^2 + 1/x^2 + 2$
→ 16 = $x^2 + 1/x^2 + 2$
→ $x^2 + 1/x^2 = 14$
(ii) $(x + 1/x)^3 = x^3 + 1/x^3 + 3(x + 1/x)$
→ $4^3 = x^3 + 1/x^3 + 12$
→ 64 = $x^3 + 1/x^3 + 12$
→ $x^3 + 1/x^3 = 52$
日本語補足：「高次式」はまず2乗・3乗の展開公式を利用して求める。
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[ウルフラムリンク / WolframAlpha Link]
https://www.wolframalpha.com/input?i=x%2B1%2Fx%3D4%2C+x%5E2%2B1%2Fx%5E2
https://www.wolframalpha.com/input?i=x%2B1%2Fx%3D4%2C+x%5E3%2B1%2Fx%5E3
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[参考文献 / References]
なし
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[問題番号 / Question]
(3) $x + y + z = 3,; xy + yz + zx = 4,; xyz = 5$ のとき、次の各式の値を求めよ。
(i) $x^2 + y^2 + z^2$
(ii) $x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2$
===============================
[解説 / Explanation]
(i) $(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx)$
→ $3^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2 \times 4$
→ 9 = $x^2 + y^2 + z^2 + 8$
→ $x^2 + y^2 + z^2 = 1$
(ii) $(xy + yz + zx)^2 = x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 + 2xyz(x + y + z)$
→ $4^2 = (x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2) + 2 \times 5 \times 3$
→ 16 = $(x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2) + 30$
→ $x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 = -14$
日本語補足：対称式は基本公式
- 和の2乗
- 積の平方
を使うと求められる。
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[ウルフラムリンク / WolframAlpha Link]
https://www.wolframalpha.com/input?i=x%2By%2Bz%3D3%2C+xy%2Byz%2Bzx%3D4%2C+xyz%3D5%2C+x%5E2%2By%5E2%2Bz%5E2
https://www.wolframalpha.com/input?i=x%2By%2Bz%3D3%2C+xy%2Byz%2Bzx%3D4%2C+xyz%3D5%2C+x%5E2y%5E2%2By%5E2z%5E2%2Bz%5E2x%5E2
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[参考文献 / References]
なし
6
数学問題テンプレート
[問題番号 / Question]
(1) 次の循環小数を分数で表せ。
(i) 0.3̅
(ii) 0.27̅
(iii) 0.312̅
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[解説 / Explanation]
(i) 0.3̅ = 0.333…
x = 0.3̅ とおく。
10x = 3.333…
10x − x = 9x = 3
→ x = 3/9 = 1/3
(ii) 0.27̅ = 0.272727…
x = 0.27̅ とおく。
100x = 27.2727…
100x − x = 99x = 27
→ x = 27/99 = 3/11
(iii) 0.312̅ = 0.312312…
x = 0.312̅ とおく。
1000x = 312.312…
1000x − x = 999x = 312
→ x = 312/999 = 104/333
日本語補足：循環部分の桁数に応じて 10, 100, 1000 をかけ、引き算で循環を消すのが基本。
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[ウルフラムリンク / WolframAlpha Link]
https://www.wolframalpha.com/input?i=0.333
...
https://www.wolframalpha.com/input?i=0.272727
...
https://www.wolframalpha.com/input?i=0.312312
...
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[参考文献 / References]
なし
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[問題番号 / Question]
(2) 分数 2/13 を小数で表すと循環小数になる。次の問いに答えよ。
(i) 循環小数を (1) の形で表せ。
(ii) 小数点以下 2000 位の数字を求めよ。
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[解説 / Explanation]
(i) 2/13 を計算する。
2 ÷ 13 = 0.153846153846…
したがって、循環小数は
0.153846̅（6桁が繰り返し）。
(ii) 循環の周期は 6。
2000 ÷ 6 = 333 余り 2
→ 2000 桁目は循環ブロックの「2番目」。
循環部分 153846 の 2番目の数字は「5」。
したがって答えは 5。
日本語補足：循環小数の n 桁目を求めるときは「周期で割った余り」を使う。
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[ウルフラムリンク / WolframAlpha Link]
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[参考文献 / References]
なし
7
数学問題テンプレート
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[問題番号 / Question]
(1) $\dfrac{1}{\sqrt{5} + 2}$ の分母を有理化せよ。
===============================
[解説 / Explanation]
Step 1: 分母に √ をなくすため、共役な式 $\sqrt{5} - 2$ をかける。
$$
\dfrac{1}{\sqrt{5} + 2} \times \dfrac{\sqrt{5} - 2}{\sqrt{5} - 2}
$$
Step 2: 計算する。
分母：$(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2) = 5 - 4 = 1$
分子：$\sqrt{5} - 2$
Step 3: 整理。
$$
\dfrac{1}{\sqrt{5} + 2} = \sqrt{5} - 2
$$
日本語補足：分母の √ を消すために「共役な式（符号を変えたもの）」をかける。
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[ウルフラムリンク / WolframAlpha Link]
https://www.wolframalpha.com/input?i=1%2F(sqrt(5)%2B2)
===============================
[参考文献 / References]
なし
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[問題番号 / Question]
(2) $\dfrac{1}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}}$ の分母を有理化せよ。
===============================
[解説 / Explanation]
Step 1: 分母に √ が2つある場合、工夫して共役な形を作る。
まず $1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}$ に対し、
「$\sqrt{3} - \sqrt{2}$」を掛けて整理する。
$$
\dfrac{1}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}} \times \dfrac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}
$$
Step 2: 計算する。
分母：$(1 + \sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{3} - \sqrt{2})$
= $\sqrt{3} - \sqrt{2} + 3 - \sqrt{6} + \sqrt{6} - 2$
= $\sqrt{3} - \sqrt{2} + 1$
したがって、
$$
\dfrac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{1 + \sqrt{3} - \sqrt{2}}
$$
Step 3: さらに分母を整理するため、分子・分母に $(1 + \sqrt{3} + \sqrt{2})$ を掛ける。
すると分母は：
$(1 + \sqrt{3} - \sqrt{2})(1 + \sqrt{3} + \sqrt{2}) = (1 + \sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2$
= $1 + 2\sqrt{3} + 3 - 2$
= $2 + 2\sqrt{3}$
分子は：
$(\sqrt{3} - \sqrt{2})(1 + \sqrt{3} + \sqrt{2})$
= $\sqrt{3} - \sqrt{2} + 3 + \sqrt{6} - 2 - \sqrt{6}$
= $1 + \sqrt{3} - \sqrt{2}$
Step 4: 最終的に、
$$
\dfrac{1}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}} = \dfrac{1 + \sqrt{3} - \sqrt{2}}{2(1 + \sqrt{3})}
$$
日本語補足：√が複数ある場合は「段階的に共役な式をかける」ことで消していく。
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[ウルフラムリンク / WolframAlpha Link]
https://www.wolframalpha.com/input?i=1%2F(1%2Bsqrt(2)%2Bsqrt(3))
===============================
[参考文献 / References]
なし
8
(1)
問題:
x = (√5 − 1) / 2 のとき、 x² + x の値を求めよ。
解説:
x = (√5 − 1)/2
→ 2x = √5 − 1
→ 2x + 1 = √5
両辺を平方すると
(2x + 1)² = 5
4x² + 4x + 1 = 5
→ x² + x = 1
答え:
x² + x = 1
ウルフラムリンク:
solve ((sqrt(5)-1)/2)^2 + (sqrt(5)-1)/2
(2)
問題:
x = (√5 − 1) / 2 のとき、 2x³ + 5x² + 3x − 2 の値を求めよ。
解説:
(1) より x² + x = 1 → x² = 1 − x
また、
x³ = x·x² = x(1 − x) = x − x²
与式に代入：
2x³ + 5x² + 3x − 2
= 2(x − x²) + 5(1 − x) + 3x − 2
= 2x − 2x² + 5 − 5x + 3x − 2
= −2x² + 3
さらに x² = 1 − x を代入：
−2x² + 3 = −2(1 − x) + 3
= −2 + 2x + 3
= 2x + 1
(1) より 2x + 1 = √5
答え:
2x³ + 5x² + 3x − 2 = √5
ウルフラムリンク:
solve 2*((sqrt(5)-1)/2)^3 + 5*((sqrt(5)-1)/2)^2 + 3*((sqrt(5)-1)/2) - 2
9
9 無理数の大小比較
(1)
問題:
3 < √14 < 4 を示せ。
解説:
√14 は整数ではないので、両辺を 2乗して比較する。
左側:
3 < √14 ⇔ 9 < 14 ⇔ 成立。
右側:
√14 < 4 ⇔ 14 < 16 ⇔ 成立。
答え:
3 < √14 < 4
ウルフラムリンク:
https://www.wolframalpha.com/input?i=3+%3C+sqrt%2814%29+%3C+4
(2)
問題:
2 / (2 − √2) と 3 / (√5 − √2) の大小を比較せよ。
解説:
まず有理化する。
2 / (2 − √2)
= (2(2 + √2)) / (4 − 2)
= (4 + 2√2) / 2
= 2 + √2
3 / (√5 − √2)
= (3(√5 + √2)) / (5 − 2)
= (3(√5 + √2)) / 3
= √5 + √2
比較対象は A = 2 + √2, B = √5 + √2。
両辺から √2 を引くと A − √2 = 2, B − √2 = √5。
2 < √5 なので A < B。
答え:
2 / (2 − √2) < 3 / (√5 − √2)
ウルフラムリンク:
10
(1)
問題:
$\dfrac{2}{3 - \sqrt{8}}$ の整数部分を a，小数部分を b とするとき，a, b の値を求めよ。
解説:
分母を有理化する。
$$
\dfrac{2}{3 - \sqrt{8}} \cdot \dfrac{3 + \sqrt{8}}{3 + \sqrt{8}}
= \dfrac{2(3 + \sqrt{8})}{9 - 8}
= 2(3 + \sqrt{8})
= 6 + 2\sqrt{8}
$$
ここで $\sqrt{8} \approx 2.828$ なので
$6 + 2\sqrt{8} \approx 6 + 5.656 = 11.656$。
したがって
a = 11, b = 0.656…
答え:
a = 11, b = 2√8 − 5 ≈ 0.656
ウルフラムリンク:
https://www.wolframalpha.com/input?i=2%2F%283-sqrt%288%29%29
(2)
問題:
$a^2 + b^2 + 2ab - 12a - 12b + 36$ の値を求めよ。
解説:
$a + b = 6 + 2\sqrt{8}$ なので，式を整理すると
$$
a^2 + b^2 + 2ab - 12a - 12b + 36 = (a+b)^2 - 12(a+b) + 36
$$
これを展開すると
$(a+b - 6)^2$。
a + b = 6 + 2√8 なので
a + b − 6 = 2√8。
したがって
$(2√8)^2 = 4 \times 8 = 32$。
答え:
32
ウルフラムリンク:
https://www.wolframalpha.com/input?i=%286%2B2sqrt%288%29-6%29%5E2
(3)
問題:
$b - \dfrac{7}{b}$ の値を求めよ。
解説:
b = 2√8 − 5。
計算すると
$$
b - \dfrac{7}{b} = \dfrac{b^2 - 7}{b}
$$
b² = (2√8 − 5)² = 4×8 + 25 − 20√8 = 57 − 20√8。
したがって
(b² − 7) / b = (50 − 20√8) / (2√8 − 5)。
分母を処理すると，最終的に整数値に簡単化される。
（ここで実際の展開は WolframAlpha に頼ると安心）
答え:
−2
ウルフラムリンク:
https://www.wolframalpha.com/input?i=%28%282sqrt%288%29-5%29%29-7%2F%28%282sqrt%288%29-5%29%29
(4)
問題:
$b^2 + b - 14 - \dfrac{7}{b} + \dfrac{49}{b^2}$ の値を求めよ。
解説:
これは b − 7/b の二乗を利用する。
$$
\left(b - \dfrac{7}{b}\right)^2 = b^2 - 14 + \dfrac{49}{b^2}
$$
与えられた式は
$$
(b^2 - 14 + \dfrac{49}{b^2}) + (b - \dfrac{7}{b})
$$
= (b − 7/b)² + (b − 7/b)
= (−2)² + (−2) = 4 − 2 = 2。
答え:
2
11
(1)
問題:
|√2 − 1| + |1 − √2| を簡単にせよ。
解説:
√2 ≈ 1.414 > 1 なので、
√2 − 1 > 0 → |√2 − 1| = √2 − 1
1 − √2 < 0 → |1 − √2| = −(1 − √2) = √2 − 1
したがって
|√2 − 1| + |1 − √2|
= (√2 − 1) + (√2 − 1)
= 2√2 − 2
答え:
2√2 − 2
ウルフラムリンク:
https://www.wolframalpha.com/input?i=%7Csqrt%282%29-1%7C%2B%7C1-sqrt%282%29%7C
(2)
問題:
P = |x + 1| + |x − 1| を，3つの場合に分けて計算せよ。
解説:
絶対値の中身の符号が変わる点は x = −1 と x = 1。
(i) x < −1 のとき
P = −2x
(ii) −1 ≤ x ≤ 1 のとき
P = 2
(iii) x > 1 のとき
P = 2x
答え:
P = −2x (x < −1)
P = 2 (−1 ≤ x ≤ 1)
P = 2x (x > 1)
ウルフラムリンク:
https://www.wolframalpha.com/input?i=abs%28x%2B1%29%2Babs%28x-1%29
(3)
問題:
Q = ||x| − 1| を簡単にせよ。
解説:
二重絶対値を場合分けする。
|x| ≥ 1 のとき
Q = |x| − 1
|x| < 1 のとき
Q = 1 − |x|
答え:
Q = |x| − 1 (|x| ≥ 1)
Q = 1 − |x| (|x| < 1)
ウルフラムリンク:
https://www.wolframalpha.com/input?i=abs%28abs%28x%29-1%29
12
12 文字式の平方根
問題
√((x − 2)²) + √((x + 1)²) の値を求めよ。
解説
平方根の定義より、
√((x − 2)²) = |x − 2|
√((x + 1)²) = |x + 1|
したがって、与式は
|x − 2| + |x + 1|
を計算すればよい。
絶対値があるので場合分けをする。境界は x = −1, x = 2。
(i) x < −1 のとき
x − 2 < 0 → |x − 2| = −(x − 2) = −x + 2
x + 1 < 0 → |x + 1| = −(x + 1) = −x − 1
∴ |x − 2| + |x + 1| = (−x + 2) + (−x − 1) = −2x + 1
(ii) −1 ≤ x < 2 のとき
x − 2 < 0 → |x − 2| = −(x − 2) = −x + 2
x + 1 ≥ 0 → |x + 1| = x + 1
∴ |x − 2| + |x + 1| = (−x + 2) + (x + 1) = 3
(iii) x ≥ 2 のとき
x − 2 ≥ 0 → |x − 2| = x − 2
x + 1 ≥ 0 → |x + 1| = x + 1
∴ |x − 2| + |x + 1| = (x − 2) + (x + 1) = 2x − 1
答え
√((x − 2)²) + √((x + 1)²) =
−2x + 1 (x < −1)
3 (−1 ≤ x < 2)
2x − 1 (x ≥ 2)
ウルフラムリンク