統計検定準1級・第9章の分散の区間推定の導出

分散の区間推定

　確率変数 $X$ が $N(\mu, \sigma^2)$ に従うとする. 母分散 $\sigma^2$ の区間推定について考える. ここで, 母平均 $\mu$ は未知とする.

　$N(\mu, \sigma^2)$ からの独立な標本 $X_1,X_2,...,X_n$ の標本平均 $\bar{X}$ からの偏差平方和を $T^2 = \sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2$ とする. $\chi^2 = T^2/\sigma^2$ は自由度 $n-1$ のカイニ乗分布に従う.

証明

\begin{align}
\chi^2 &= \frac {T^2} {\sigma^2} \\
&= \frac {\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2} {\sigma^2} \\
&= \frac {\sum_{i=1}^{n} (X_i - \mu + \mu  - \bar{X})^2} {\sigma^2} \\
&= \frac {\sum_{i=1}^{n} (X_i - \mu)^2 + 2\sum_{i=1}^{n} (X_i - \mu)(\mu  - \bar{X}) + \sum_{i=1}^{n}(\mu  - \bar{X})^2} {\sigma^2} \\
&= \frac {\sum_{i=1}^{n} (X_i - \mu)^2 - n(\mu  - \bar{X})^2} {\sigma^2} \\
&= \sum_{i=1}^{n} (\frac {X_i - \mu} {\sigma})^2 - (\frac {\bar{X} - \mu} {\sigma/\sqrt{n}})^2 
\end{align}

$$
\frac {X_i - \mu} {\sigma} \sim N(0,1) より, \sum_{i=1}^{n} (\frac {X_i - \mu} {\sigma})^2 \sim \chi^2(n)
$$

$$
\frac {\bar{X} - \mu} {\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1) より, (\frac {\bar{X} - \mu} {\sigma/\sqrt{n}})^2 \sim \chi^2(1)
$$

したがって, カイニ乗分布の再生性より, $\chi^2 = T^2/\sigma^2$ は自由度 $n-1$ のカイニ乗分布に従う.

カイニ乗分布の上側2.5%点 $\chi^2_{0.025}(n-1)$ および上側97.5%点 $\chi^2_{0.975}(n-1)$ から, 以下の確率式が成り立つ.

$$
P(\chi^2_{0.975}(n-1) \leq \chi^2 \leq \chi^2_{0.025}(n-1)) = 0.95
$$