1 標本の平均の検定

分散 $\sigma^2$ は未知とする. 標本分散 $s^2 = \frac {1} {n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2$ で $\sigma^2$ を推定する. $\frac {(n-1)s^2} {\sigma^2} = \frac {\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^2} {\sigma^2}$ は自由度 $n-1$ のカイニ乗分布に従う.

帰無仮説 $H_0 : \mu = \mu_0$ のもとで, 検定統計量 $T = \frac {\bar{X} - \mu_0} {s/\sqrt{n}}$ は自由度 $n-1$ の $t$ 分布に従う.

証明

\begin{align}
\frac {\bar{X} - \mu_0} {\frac {s} {\sqrt{n}}} &= \frac {(\bar{X} - \mu)\sqrt{n}} {s} \\ 
&= \frac {\frac {(\bar{X} - \mu_0)} {\frac {1} {\sqrt{n}}}} {s} \\
&= \frac {\frac {(\bar{X} - \mu_0)} {\frac {\sigma} {\sqrt{n}}}} {\frac {s} {\sigma}} \\
&= \frac {\frac {(\bar{X} - \mu_0)} {\frac {\sigma} {\sqrt{n}}}} {\sqrt{\frac {s^2} {\sigma^2}}} \\
&= \frac {\frac {(\bar{X} - \mu_0)} {\frac {\sigma} {\sqrt{n}}}} {\sqrt{\frac {(n-1)s^2} {\sigma^2(n-1)}}} \\
\end{align}

$$
\frac {(\bar{X} - \mu)} {\frac {\sigma} {\sqrt{n}}} \sim N(0,1)
$$

$$
\frac {(n-1)s} {\sigma} \sim \chi^2(n-1)
$$

よってT分布の定義

$$
T = \frac {Z} {\sqrt{\frac {Y} {n}}}, Z \sim N(0,1), Y \sim \chi^2(n)
$$

から, $T = \frac {\bar{X} - \mu_0} {s/\sqrt{n}}$ は自由度 $n-1$ の $t$ 分布に従う.