ある数学的変換
$$
\psi(\partial \phi/\partial x_1,x_2) = \phi(x_1,x_2)-x_1 \partial \phi/\partial x_1
$$
変換を考えます。たとえば、
$$
E = 2S^2 - V^2 +4
$$
$S=x_1$, $V=x_2$とすると、
$$
\psi(x_1,x_2) = 2S^2 - V^2 +4 - S \times 4S
$$
$\partial E/\partial S=T=4S$なので、
$S＝T/4$を代入すると
$$
2\left(\frac{T}{4}\right)^2 - V^2 + 4 - \frac{T}{4} \times 4\left(\frac{T}{4}\right)
$$
$$
\frac{T^2}{8} - V^2 + 4 - \frac{T^2}{4}
$$
分母をそろえると：
$$\frac{T^2}{8} - \frac{2T^2}{8} - V^2 + 4
$$
最終的に：
$$
-\frac{T^2}{8} - V^2 + 4
$$
この形になります。$\psi = A(\partial \phi/\partial x_1=T,x_2=S)$なので
$$
A(T,V)=-\frac{T^2}{8} - V^2 + 4
$$
数式の意味について
ある関数 $\phi(x_1, x_2)$ に対して、変数 $x_1$ の偏導関数を用いた変換を表しています。これを解釈すると、次のような意味を持つ可能性があります。
$$
\psi\left(\frac{\partial \phi}{\partial x_1}, x_2\right) = \phi(x_1, x_2) - x_1 \frac{\partial \phi}{\partial x_1}
$$
これは、関数 $\phi$ から $x_1$ に関する項を調整した形を取っています。一般に、解釈が考えられます.
この形式は物理・数学のさまざまな分野で見られます。例えば、座標変換や力学系の解析に似た形が現れることがあります。