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@Takahiro-cd(takahiro_act)

アクチュアリーのためのPython入門（保険負債の金利変動による影響）

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アクチュアリーのためのPython入門（応用編第5回）

保険負債の金利変動による影響

📚 アクチュアリーのためのPython入門
この記事は応用編の一部です。
▶ 目次はこちら

はじめに

前回は将来キャッシュフローの現在価値を計算しました。
今回は金利を変動させた場合の影響を見てみます。

金利を変動させた現在価値の平均と、
平均金利を用いた現在価値との差を
保証とオプションの時間価値といいます。

保証とオプションの時間価値

キャッシュフローの現在価値（以下、現在推計といいます）は
確率加重平均を使います。現在推計を計算するための

  • 死亡率
  • 解約率
  • 事業費（経費）
  • 金利

のそれぞれの確率加重平均で計算すれば、
その結果の現在推計も確率加重平均となるかと思いますが、
それは、平均に対して上下が対称である場合です。

金利の変動に対して対称でない場合があります。
例えば、変額保険の最低保証や、契約者配当などです。
詳しくはアクチュアリー会のホームページに資料があります。

以下のリンク先の

  • 「経済価値ベースのソルベンシー規制における解約・失効等に関する考察（中間報告）」
  • 「経済価値ベースのソルベンシー規制における割引率および金利リスク等に関する考察（中間報告）」
    を参照ください。

ここでは、そのうちの動的解約を取り上げます。
動的解約とは、貯蓄性のある保険商品において、
金利が上昇したときに解約が増加し、
金利が下降したときに解約が減少するというものです。

金利モデルや動的解約のモデルにも様々な種類があるのですが、
本題ではありませんので、ここでは単純なモデルとします。

前提条件

単純化するために前提条件は次のとおりです。

  • 前回と異なり、金利は全年限で一定
  • 金利と予定利率との差を元に解約率を変動させる
  • 金利は正規乱数を使って変動させる

まず、cashflow.pyに動的解約を加えます。
前回までコードはそのままにしておきたいので、
コピーして、ファイル名をcashflow_r.pyとしておきます。

金利による解約率の上昇は強めに、
下降は弱めに設定しています。
これで解約率を非対称にします。

この解約率の係数をもとの解約率に乗じます。

cashflow_r.py
# 金利による解約率の係数
def dyn_qw(r):
    dr = r - 0.006
    w = 1 + 15 * max(dr, 0) + 0.5 * min(dr, 0)
    return w

解約率への反映は貯蓄性の養老保険と終身保険のみに適用します。
キャッシュフローを計算する関数create_cashflowの
引数には金利rを付け加えます。

cashflow_r.py全体のコードは次のとおりです。

cashflow_r.py
# 動的解約
from core import *
from endowment import PremE, SVE
from term import PremT, SVT
from whole import PremW, SVW
import pandas as pd

# 死亡指数の関数化
def mort_k(product):
    match product:
        case "E":
            k = 0.8
        case "T":
            k = 0.7
        case "W":
            k = 0.85
    return k

# 死亡率の関数
def qdx(sex, age):
    return qx[sex][age]

# 保険料の計算式
premium_func = {
    "E":PremE,
    "T":PremT,
    "W":PremW
}
def prem_func(product, sex, age, term):
    return premium_func[product](sex, age, term)

# 金利による解約率の係数
def dyn_qw(r):
    dr = r - 0.006
    w = 1 + 15 * max(dr, 0) + 0.5 * min(dr, 0)
    return w

# 解約率(養老保険)金利によるによる変化あり
def qwxE(t, m, r):
    dw = dyn_qw(r)
    if t == 0:
        w = 0.05
    elif t < 3:
        w = 0.03
    else:
        w = 0.02
    return w * dw

# 解約率(定期保険)
def qwxT(t, m, r):
    if t == 0:
        w = 0.08
    elif t < 3:
        w = 0.05
    else:
        w = 0.03
    return w

# 解約率(終身保険)金利によるによる変化あり
def qwxW(t, m, r):
    dw = dyn_qw(r)
    if t == 0:
        w = 0.03
    elif t >= m:
        w = 0.01
    else:
        w = 0.02
    return w * dw

# 解約率の関数
surrender_func = {
    "E":qwxE,
    "T":qwxT,
    "W":qwxW
}
def qwx(product, t, m, r):
    return surrender_func[product](t, m, r)

# 解約返戻金の計算式
surrendervalue_func = {
    "E":SVE,
    "T":SVT,
    "W":SVW
}
def sv_func(product, sex, age, term ,t):
    return surrendervalue_func[product](sex, age, term, t)

# 満期保険金
def maturity(product):
    if product == "T":
        value = 0   # 定期保険は0
    else:
        value = 1   # 他は1
    return value

# 最終年齢(終身保険用)
def omega(sex):
    o = len(qx[sex]) - 1
    return o

# 保険料払込期間
def PremPeriod(product, sex, age, term):
    n = parse_term(term, age)
    return n

# 保険期間
def InsPeriod(product, sex, age, term):
    if product == "W":
        value = omega(sex) - age       # 終身は最終年齢 
    else:
        value = parse_term(term, age)  # 他はそのまま
    return value

# キャッシュフロー計算の関数化 base_yearは計算基準年度
def create_cashflow(r, base_year = 2022):    

    # 結果を入れる変数
    results1 = []

    df = pd.read_excel("contr_all.xlsx")

    for _, row in df.iterrows():
        product = row["product"]
        policy = int(row["policy"])
        sex = row["sex"]
        age = int(row["age"])
        term = row["term"]
        amount = int(row["amount"])

        # 保険収支の計算
        l0 = amount      # 初期保険金額

        # 残存表の作成
        lx = [l0]        # 保有保険金額
        dx = []          # 死亡保険金額
        wx = []          # 解約保険金額
        mx = []          # 満期保険金額

        n = InsPeriod(product, sex, age, term) # 保険期間
        m = PremPeriod(product, sex, age, term) # 保険料払込期間
        # 生命表の作成
        for t in range(n):
            q = qdx(sex, age + t)
            w = qwx(product, t, m, r) # 金利を加える
            next_d = lx[-1] * q * mort_k(product)
            next_w = lx[-1] * w
            if t == n - 1:
                next_m = lx[-1] - next_d - next_w
                next_l = 0
            else:
                next_m = 0
                next_l = lx[-1] - next_d - next_w

            lx.append(next_l)
            dx.append(next_d)
            wx.append(next_w)
            mx.append(next_m)

        # キャッシュフローの項目
        inprem = []    # 保険料収入
        benefit = []   # 保険金支払い
        surrender = [] # 解約返戻金支払い
        expenses = []  # 事業費
        cashflow = []  # キャッシュフロー

        P = float(prem_func(product, sex, age, term))

        # キャッシュフローの計算
        for t in range(n):
            # 保険料の収入
            if t < m:
                inprem.append(lx[t] * P)
            else:
                inprem.append(0)
            # 保険金の支払い
            if t == n - 1:
                # 死亡+満期保険金の支払い
                pay_ben = dx[t] + mx[t] * maturity(product)
            else:
                # 死亡保険金の支払い
                pay_ben = dx[t]
            benefit.append(pay_ben)
            # 解約返戻金の支払い
            W = float(sv_func(product, sex, age, term, t + 1))
            surrender.append(wx[t] * W)
            # 事業費の支払い
            expenses.append(inprem[t] * 0.3)
            # キャッシュフロー
            cashflow.append(benefit[t] + surrender[t] \
                      + expenses[t] - inprem[t])

            # 補整値の計算
            af = amount / lx[base_year - policy + 1]

            # 商品別のキャッシュフロー
            results1.append({"product":product,
                             "year":policy + t,
                             "benefit":int(benefit[t] * af),
                             "surrender":int(surrender[t] * af), 
                             "expenses":int(expenses[t] * af),
                             "inprem":int(inprem[t] * af),
                             "cashflow":int(cashflow[t] * af)
            })

    result_df = pd.DataFrame(results1)
    # 商品別の集計
    grouped_product = result_df.groupby(["product", "year"]).sum()
    summary_product = grouped_product.reset_index()

    # 合計の集計
    grouped_total = result_df.groupby("year").sum()
    summary_total = grouped_total.reset_index()
    # Totalのラベルを付ける
    summary_total["product"] = "Total"

    # 結合
    summary = pd.concat([summary_product, summary_total], ignore_index=True)
    # 年度のフィルタ
    summary = summary[summary["year"] >= base_year + 1]
    return summary

# キャッシュフローの出力
if __name__ == "__main__":
    summary = create_cashflow()
    summary.to_excel("result_all2.xlsx", index=False)

まず、金利の変動がない状態で、現在推計を計算します。
固定金利は前回の経過9年の金利を用います。
ファイル名を前回とは変えてpresentvalue_r.pyとしておきます。

presentvalue_r.py
from core import *
from cashflow_r import create_cashflow

rate0 = 0.00877

# 現価率
def DF(t, r):
    return (1 + r) ** (-t-0.5)

# 計算基準年度
base_year = 2022
# キャッシュフローの計算
summary = create_cashflow(rate0, base_year)
# Totalのみ抽出
summary = summary[summary["product"] == "Total"]
# 経過年数を追加
summary["t"] = summary["year"] - base_year - 1
# 現在価値を計算
PV = 0
for _, row in summary.iterrows():
    t = int(row["t"])
    cf = row["cashflow"]

    PV += cf * DF(t, rate0)

print(int(PV))

結果は、

2689570

と表示されます。

続いて、動的解約を反映させますが、
その前に準備として、乱数を生成するために、
numpyというライブラリが必要です。
必要に応じてインストールしてください。

まずはヘッダー部分です。

presentvalue_r.py
# 動的解約
from core import *
from cashflow_r import create_cashflow
import numpy as np

np.random.seed(42)
rate0 = 0.00877

Pythonでは疑似乱数が使われていて、
シード値が同じならば、乱数の並びは同じになります。
ここでは、みなさんの結果を同じにするため、
np.random.seed(42)でシード値を42と固定しています。

次に変動金利部分です。epsは正規乱数で、
標準偏差sigmaに乗じて変動させています。
scenarioは試行回数で、その回数だけ金利を生成します。

presentvalue_r.py
# 変動金利（10年金利）
def delta_rate(scenario):
    rates = []
    sigma = 0.011204
    for i in range(scenario):
        eps = np.random.normal(0, 1)
        dr = rate0 + sigma * eps
        rates.append(dr)
    return rates

金利を変動させて計算て、その結果の平均を取ります。

presentvalue_r.py
# 現価率
def DF(t, r):
    return (1 + r) ** (-t-0.5)

# 計算回数
scenario = 1000
# 計算基準年度
base_year = 2022

# 10年金利の推計
d = delta_rate(scenario)
# 計算結果のリスト
PV_list = []

for n in range(scenario):
    # キャッシュフローの計算
    summary = create_cashflow(d[n], base_year)
    # Totalのみ抽出
    summary = summary[summary["product"] == "Total"]
    # 経過年数を追加
    summary["t"] = summary["year"] - base_year - 1
    
    # 現在価値を計算
    PV = 0
    for _, row in summary.iterrows():
        t = int(row["t"])
        cf = row["cashflow"]
        PV += cf * DF(t, d[n])
    PV_list.append(round(PV,0))

average = sum(PV_list) / len(PV_list)
print(int(average))

1000回キャッシュフローを計算していますので、
少し時間はかかります。
計算結果は、

3147709

と表示されます。

動的解約を取り入れることで、
現在推計が増加する簡単な例をあげました。

結果の視覚化

PV_listがどんな偏りとなっているか視覚化してみました。
ヒストグラムは次のとおりです。
pv_distribution.png

かなり右側へ裾が広がっているのが確認できます。
このヒストグラムは、PythonのMatplotlibというライブラリを使ったのですが、
環境によって使えたり使えなかったり、
設定もいろいろとあるので、省略させてください。

Excelのグラフを使い慣れている方にとっては、
pandasでExcelへ出力してグラフ化した方が便利かと思います。

まとめ

今回は金利変動に伴う現在推計への影響について、
簡単なサンプルをあげてみました。

保証とオプションの時間価値という、
言葉だけではピンとこない内容ですが、
単純な数値でもいいので、イメージを持つことで
理解が深まるかと思います。

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キャッシュフローの現在価値

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📚 目次
アクチュアリーのためのPython入門

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