量子ゲート変換図鑑
これは私自身の学習のためにまとめた「量子ゲート変換図鑑」です。
量子回路でよく使うゲートの定義や分解、交換関係などを整理し、数式と行列表記を併記しました。
1. 基本定義
Pauliゲート
Xゲート（ビット反転）
X|0\rangle = |1\rangle, \quad X|1\rangle = |0\rangle
X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
Xはビット反転、古典のNOTゲートに対応。量子状態の重ね合わせも反転する。
Yゲート
Y|0\rangle = i|1\rangle, \quad Y|1\rangle = -i|0\rangle
Y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}
Yは位相付きビット反転。X軸とZ軸の回転の合成として理解できる。
Zゲート（位相反転）
Z|0\rangle = |0\rangle, \quad Z|1\rangle = -|1\rangle
Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
Zは|1⟩の位相だけ反転。重ね合わせ状態で位相干渉を制御するのに重要。
Hadamardゲート
Hadamardゲート
H|0\rangle = \frac{|0\rangle + |1\rangle}{\sqrt{2}}, \quad H|1\rangle = \frac{|0\rangle - |1\rangle}{\sqrt{2}}
H = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}
Hadamardは重ね合わせを作る基本ゲート。計算基底と対角基底を相互変換する。
位相ゲート
Sゲート（π/2位相ゲート）
S|0\rangle = |0\rangle, \quad S|1\rangle = i|1\rangle
S = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix}
回転ゲートとの関係：
S = e^{i\pi/4} R_z(\pi/2)
ここで、グローバル位相 $e^{i\pi/4}$ を含む表現。
Tゲート（π/4位相ゲート）
T|0\rangle = |0\rangle, \quad T|1\rangle = e^{i\pi/4}|1\rangle
T = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i\pi/4} \end{pmatrix}
回転ゲートとの関係：
T = e^{i\pi/8} R_z(\pi/4)
Tはπ/4の位相をかける。量子計算の普遍性に不可欠。
回転ゲート
X軸回転
R_x(\theta) = e^{-i\frac{\theta}{2}X} = \cos\frac{\theta}{2}I - i\sin\frac{\theta}{2}X
R_x(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\frac{\theta}{2} & -i\sin\frac{\theta}{2} \\ -i\sin\frac{\theta}{2} & \cos\frac{\theta}{2} \end{pmatrix}
Bloch球のX軸周りの回転。θ=πでXゲートになる。
Y軸回転
R_y(\theta) = e^{-i\frac{\theta}{2}Y} = \cos\frac{\theta}{2}I - i\sin\frac{\theta}{2}Y
R_y(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\frac{\theta}{2} & -\sin\frac{\theta}{2} \\ \sin\frac{\theta}{2} & \cos\frac{\theta}{2} \end{pmatrix}
Bloch球のY軸周りの回転。実行列になっているのが特徴。
Z軸回転
R_z(\theta) = e^{-i\frac{\theta}{2}Z} = \cos\frac{\theta}{2}I - i\sin\frac{\theta}{2}Z
R_z(\theta) = \begin{pmatrix} e^{-i\theta/2} & 0 \\ 0 & e^{i\theta/2} \end{pmatrix}
Bloch球のZ軸周りの回転。位相のみを変化させる。
2. 多量子ビットゲート
CNOTゲート（制御X）
\text{CNOT}|00\rangle = |00\rangle, \quad \text{CNOT}|01\rangle = |01\rangle
\text{CNOT}|10\rangle = |11\rangle, \quad \text{CNOT}|11\rangle = |10\rangle
\text{CNOT} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}
SWAPゲート
\text{SWAP}|00\rangle = |00\rangle, \quad \text{SWAP}|01\rangle = |10\rangle
\text{SWAP}|10\rangle = |01\rangle, \quad \text{SWAP}|11\rangle = |11\rangle
\text{SWAP} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
SWAP分解（CNOTで）：
\text{SWAP} = \text{CNOT}_{12} \cdot \text{CNOT}_{21} \cdot \text{CNOT}_{12}
CZゲート（制御Z）
\text{CZ}|00\rangle = |00\rangle, \quad \text{CZ}|01\rangle = |01\rangle
\text{CZ}|10\rangle = |10\rangle, \quad \text{CZ}|11\rangle = -|11\rangle
\text{CZ} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}
CNOTとの変換：
\text{CZ} = (I \otimes H) \cdot \text{CNOT} \cdot (I \otimes H)
Toffoliゲート（CCX）
\text{CCX}|abc\rangle = |ab(c \oplus ab)\rangle
標準分解（Shende et al., 2009）：
CCX = H₃ · CNOT₂₃ · T₃† · CNOT₁₃ · T₃ · CNOT₂₃ · T₃† · CNOT₁₃ · T₁ · T₂ · T₃ · CNOT₁₂ · H₃ · T₁† · CNOT₁₂
3. 重要な変換関係式
Hadamard変換による基底変換
HXH = Z
HZH = X
HYH = -Y
Hadamardは計算基底⇄対角基底の変換を行う。XとZが交換され、Yは符号が変わる。
位相ゲートの周期性
S^2 = Z, \quad S^4 = I
T^2 = S, \quad T^4 = Z, \quad T^8 = I
逆ゲート：
S^\dagger = S^3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix}
T^\dagger = T^7 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{-i\pi/4} \end{pmatrix}
回転ゲートの合成
同軸回転の合成：
R_a(\alpha)R_a(\beta) = R_a(\alpha + \beta) \quad (a = x, y, z)
異軸回転（非可換）：
[R_x(\alpha), R_y(\beta)] \neq 0 \quad \text{（一般に）}
4. Pauliゲートの代数
反交換関係
\{X,Y\} = XY + YX = 0
\{Y,Z\} = YZ + ZY = 0
\{Z,X\} = ZX + XZ = 0
交換子
[X,Y] = XY - YX = 2iZ
[Y,Z] = YZ - ZY = 2iX
[Z,X] = ZX - XZ = 2iY
Pauli群の性質
X^2 = Y^2 = Z^2 = I
XYZ = iI
他の順序の場合:
XZY = -iI
YXZ = -iI
YZX = iI
ZXY = iI
ZYX = -iI
一般的な規則
偶数順列（元の順序XYZからの偶数回の交換）:
- XYZ → +i
- YZX → +i
- ZXY → +i
奇数順列（元の順序XYZからの奇数回の交換）:
- XZY → -i
- YXZ → -i
- ZYX → -i
5. 任意ユニタリ分解
ZXZ分解（オイラー角分解）
任意の1量子ビットユニタリは：
U = e^{i\alpha}R_z(\beta)R_x(\gamma)R_z(\delta)
ZYZ分解
U = e^{i\alpha}R_z(\beta)R_y(\gamma)R_z(\delta)
XYX分解
U = e^{i\alpha}R_x(\theta_1)R_y(\phi)R_x(\theta_2)
これらの分解は一意に決まる（グローバル位相を除く）。
6. ゲート集合と普遍性
Clifford群
生成元：
- Pauliゲート:
{X, Y, Z} - Hadamardゲート:
H - 位相ゲート:
S
性質：
- Pauliゲートを他のPauliゲート（符号込み）に共役変換
- 古典的に効率よくシミュレーション可能（Gottesman-Knill定理）
普遍ゲート集合
Clifford + T:
\{H, S, T, \text{CNOT}\}
理由：
- Solovay-Kitaev定理により任意のユニタリを効率的に近似
- 耐故障量子計算で実用的
- Tは非Cliffordゲートで量子優位性を提供
7. CNOTとPauliの共役関係
CNOTによる変換
\text{CNOT} \cdot (X \otimes I) \cdot \text{CNOT}^\dagger = X \otimes X
\text{CNOT} \cdot (I \otimes X) \cdot \text{CNOT}^\dagger = I \otimes X
\text{CNOT} \cdot (Z \otimes I) \cdot \text{CNOT}^\dagger = Z \otimes I
\text{CNOT} \cdot (I \otimes Z) \cdot \text{CNOT}^\dagger = Z \otimes Z
これらの関係は量子誤り訂正で重要。
8. 実用的な分解例
CYゲート分解
\text{CY} = (I \otimes S^\dagger) \cdot \text{CNOT} \cdot (I \otimes S)
iSWAP分解
\text{iSWAP} = \text{CNOT}_{12} \cdot (I \otimes S) \cdot \text{CNOT}_{12} \cdot (S \otimes I)
制御回転ゲート
\text{CR}_z(\theta) = (I \otimes R_z(\theta/2)) \cdot \text{CNOT} \cdot (I \otimes R_z(-\theta/2)) \cdot \text{CNOT}
9. まとめ
自分の学習用のリファレンスとしてまとめたものなので、必要に応じて今後も追記・修正していきます。 もし間違いや不足があればフィードバックをいただき、さらに精度の高い「自分専用の量子ゲート図鑑」に育てていきたいと思います。