初めに
「球面集中現象」という言葉を知った．
少しだけ勉強してみる．
文献（備忘録として）：
球面集中現象
2次元空間
まず，2次元空間での単位円を考える（直径$d=1$，半径$r=d/2$）．
単位円の面積$S$は，
\begin{align}
S
&= \pi r^2 \\
\end{align}
である．中心から$r_* = 0.9r$以上離れた部分を，円の「表面付近」と呼ぶこととすると，その面積$S_*$は，
\begin{align}
S_{*}
&= \pi \left( r^2 - r_{*}^2 \right) \\
&= \pi \left( r^2 - (0.9r)^2 \right) \\
&= 0.19 \pi r^2 \\
\end{align}
である．円全体の内，19%が「表面付近」である．
3次元空間
続いて，3次元空間での単位球を考える．
単位球の体積$V$は，
\begin{align}
V
&= \frac{4}{3} \pi r^3 \\
\end{align}
である．先ほどと同様に，中心から$r_* = 0.9r$以上離れた部分を，球の「表面付近」と呼ぶこととすると，その体積$V_*$は，
\begin{align}
V_{*}
&= \frac{4}{3} \pi \left( r^3 - r_*^3 \right) \\
&= \frac{4}{3} \pi \left( r^3 - (0.9r)^3 \right) \\
&= 0.271 \frac{4}{3} \pi r^3 \\
\end{align}
である．球全体の内，27%が「表面付近」である．
d次元空間
より一般化して，$d$次元空間を考える．
ここで，$d$次元空間において，相似な図形の体積比が相似比の$d$乗に比例する性質を利用する．
すなわち，$d$次元超球の体積$V(d)$と，その「表面付近」の体積$V_*(d)$との比は
V(d) : V_*(d) = 1 : 1 - R^d
となる．ただし，$R$は相似比である．
実際，
- $d=2$では，$V(d) : V_*(d) = 1 : 1 - 0.9^2 = 1 : 0.19$
- $d=3$では，$V(d) : V_*(d) = 1 : 1 - 0.9^3 = 1 : 0.27$
より，先ほどの計算結果と一致する．
空間次元$d$を大きくしながら$V_*(d)$を計算すると，以下のようになる．
高次元になるほど，「表面付近」の割合が大きくなる．
幾つかのサンプリングを試したが，MCだけでなく，QMCでも起きるようである．
記憶が曖昧だが，何処かでLHSは球面集中現象を回避，或いは緩和できると聞いた気がするが，実験の結果，MCとLHSはそう変わらない気がする．或いは，コードにバグがあるかもしれないが．
終わりに
最近は，分からないことだらけである．
Appendix
import numpy as np
from scipy.stats import qmc
import matplotlib.pyplot as plt
m = 32 # repeat
n = 2**10 # sample size
ds = np.arange(2, 10, 1) # dimensions
V_star_list = []
for d in ds:
res_list = []
for i in range(m):
X = np.random.uniform(size=(n, d))
# X = qmc.LatinHypercube(d=d).random(n=n)
# X = qmc.Sobol(d=d).random(n=n)
rs = 0.
for j in range(len(X.T)):
rs += X[:,j]**2
rs = np.sqrt(rs)
count = 0
count_in = 0
for r in rs:
if r < 1.:
count += 1
if r < .9:
count_in += 1
res = count_in / count
res_list.append(res)
print(f"d:{d:d}, V_star: {1. - np.mean(res_list):.2f}")
V_star_list.append(1. - np.mean(res_list))