初めに

「球面集中現象」という言葉を知った．

少しだけ勉強してみる．

文献（備忘録として）：

球面集中現象

2次元空間

まず，2次元空間での単位円を考える（直径$d=1$，半径$r=d/2$）．

単位円の面積$S$は，

\begin{align}
    S 
    &= \pi r^2 \\
\end{align}

である．中心から$r_* = 0.9r$以上離れた部分を，円の「表面付近」と呼ぶこととすると，その面積$S_*$は，

\begin{align}
    S_{*}
    &= \pi \left( r^2 - r_{*}^2 \right) \\
    &= \pi \left( r^2 - (0.9r)^2 \right) \\
    &= 0.19 \pi r^2 \\
\end{align}

である．円全体の内，19%が「表面付近」である．

3次元空間

続いて，3次元空間での単位球を考える．

単位球の体積$V$は，

\begin{align}
    V
    &= \frac{4}{3} \pi r^3 \\
\end{align}

である．先ほどと同様に，中心から$r_* = 0.9r$以上離れた部分を，球の「表面付近」と呼ぶこととすると，その体積$V_*$は，

\begin{align}
    V_{*}
    &= \frac{4}{3} \pi \left( r^3 - r_*^3 \right) \\
    &= \frac{4}{3} \pi \left( r^3 - (0.9r)^3 \right) \\
    &= 0.271 \frac{4}{3} \pi r^3 \\
\end{align}

である．球全体の内，27%が「表面付近」である．

d次元空間

より一般化して，$d$次元空間を考える．

ここで，$d$次元空間において，相似な図形の体積比が相似比の$d$乗に比例する性質を利用する．

すなわち，$d$次元超球の体積$V(d)$と，その「表面付近」の体積$V_*(d)$との比は

V(d) : V_*(d) = 1 : 1 - R^d

となる．ただし，$R$は相似比である．

実際，

$d=2$では，$V(d) : V_*(d) = 1 : 1 - 0.9^2 = 1 : 0.19$
$d=3$では，$V(d) : V_*(d) = 1 : 1 - 0.9^3 = 1 : 0.27$

より，先ほどの計算結果と一致する．

空間次元$d$を大きくしながら$V_*(d)$を計算すると，以下のようになる．

高次元になるほど，「表面付近」の割合が大きくなる．

幾つかのサンプリングを試したが，MCだけでなく，QMCでも起きるようである．

記憶が曖昧だが，何処かでLHSは球面集中現象を回避，或いは緩和できると聞いた気がするが，実験の結果，MCとLHSはそう変わらない気がする．或いは，コードにバグがあるかもしれないが．

終わりに

最近は，分からないことだらけである．

Appendix

import numpy as np
from scipy.stats import qmc
import matplotlib.pyplot as plt

m = 32   # repeat
n = 2**10   # sample size
ds = np.arange(2, 10, 1)   # dimensions

V_star_list = []
for d in ds:
    res_list = []
    for i in range(m):
        X = np.random.uniform(size=(n, d))
        # X = qmc.LatinHypercube(d=d).random(n=n)
        # X = qmc.Sobol(d=d).random(n=n)

        rs = 0.
        for j in range(len(X.T)):
            rs += X[:,j]**2
        rs = np.sqrt(rs)

        count = 0
        count_in = 0
        for r in rs:
            if r < 1.:
                count += 1
            if r < .9:
                count_in += 1

        res = count_in / count
        res_list.append(res)

    print(f"d:{d:d}, V_star: {1. - np.mean(res_list):.2f}")
    V_star_list.append(1. - np.mean(res_list))