Qiita Teams that are logged in
You are not logged in to any team

Log in to Qiita Team
Community
OrganizationAdvent CalendarQiitadon (β)
Service
Qiita JobsQiita ZineQiita Blog
10
Help us understand the problem. What is going on with this article?
@SaitoTsutomu

数独を通して組合せ最適化を学ぼう

More than 3 years have passed since last update.

Advent Calendar 2日目の記事 組合せ最適化でカックロを解く

数独を通して組合せ最適化を学ぼう

i. 目的

「様々な課題を組合せ最適化を使って解決できたら」と思った人に向けて、数独1を題材にして説明していきます。
一般に、パズルは解く過程を楽しむものです。
組合せ最適化を使って解くパズルは、モデル化の過程を楽しむものです。

ii. 組合せ最適化とは

数理モデルを使った最適化で、下記のような、いろいろな問題があります。

もう少し詳しい説明は、下記をご覧ください。

組合せ最適化は、難しい問題が多いですが、ソルバーを使うと数理モデルを作成するだけで、ソルバーが答えを出してくれます。

最近では、ソルバーの性能が上がってきて、過去、解けなかったものも解けるようになってきています。

iii. 手順について

課題を解くための手順です。

  1. 問題をまとめる
    • ヒアリングしたり、頭を整理したりして、必要な情報をまとめていきます。
  2. 数理モデルを考える
    • 変数、目的関数、制約条件を考えます。たくさんのアプローチ方法を考えることが重要です。この能力は、経験によって鍛えられます。
  3. 実装して解く
    • ソルバーで実行できるモデルを記述します。お勧めするのは Pythonで記述する方法です。解くのはソルバーを呼ぶだけです。エラーを取り除くデバッグも含まれます。時間がかかるなどして解けない場合は、2.に戻って別のアプローチを探しましょう。
  4. 結果を確認する
    • 結果を見てモデルの通りに実装されているか確認しましょう。テスト結果がおかしければ、3.に戻って直してください。モデル通りにできていたら、次にその課題の専門家に結果を見てもらいましょう。ここでは、図示が有効です。専門家に おかしいと言われたら、1.に戻って見直します。

1. 問題をまとめる

今回は、下図のような数独を解きます。

  • 9x9の全マスに、1~9の数字を必ず埋めます。(1)
  • どの1行(2)、どの1列(3)、どの3x3(4)において、同じ数字は1回だけ使えます。
  • 数字が埋まっている場所は、その数字を使います。(5)

2. 数理モデルを考える

下図のような、9x9x9の729個の箱を考えましょう。この3軸は、行、列、数字に対応します。

1つの箱には、選ばれているか/選ばれていないか のどちらかの状態を持ちます。
これを1と0の数字で表しましょう。行i 列j 数字k の箱が1の場合、i行j列のマスの数字がkであることを意味するものとします。この729個の箱が0-1変数になります。
制約条件は、下記の通りです。

  • 1つのマスに同じ数字は1つ。1x1x9の9箱の合計が1。 …(1)
  • 1行のマスに同じ数字は1つ。1x9x1の9箱の合計が1。 …(2)
  • 1列のマスに同じ数字は1つ。9x1x1の9箱の合計が1。 …(3)
  • 3x3のマスに同じ数字は1つ。3x3x1の9箱の合計が1。 …(4)
  • 数字指定の場合、その数字。1x1x1の1箱の合計が1。 …(5)

今回、目的関数はありません(便宜上、式 0 になります)。

3. 実装して解く

Pythonで数理モデルを作成する方法は、いろいろありますが、よく使われる PuLPとpandasを利用します。
PuLPについては、下記を参照ください。

インストール

Pythonはバージョン3.6をインストールしてください。
追加ライブラリのために、下記を実行してください(処理系によっては、pipの代わりにpip3になります)。

pip install pandas pulp ortoolpy

変数表の作成

pandasで下記のような表を作成します。1レコード1変数(Var)に対応させ729レコードになります(1レコードは表の1行に対応します)。






_3x3 Var
0 0 0 1 0 False v000001
0 0 0 2 0 False v000002
...

この表を使うと制約条件は、以下のように表せます(カッコ内の数字は、2. 数理モデルを考えると対応します)。

  • 1つのマスに同じ数字は1つ。「行と列」が同じレコード集合の変数の和は1。 …(1)
  • 1行のマスに同じ数字は1つ。「行と数」が同じレコード集合の変数の和は1。 …(2)
  • 1列のマスに同じ数字は1つ。「列と数」が同じレコード集合の変数の和は1。 …(3)
  • 3x3のマスに同じ数字は1つ。「3x3の種別と数」が同じレコード集合の変数の和は1。 …(4)
  • 数字指定の場合、その数字。「固」がTrueなら変数は1。 …(5)

キーが同じ集合は pandasの groupで、できます。

プログラム

python
import re, pandas as pd
from itertools import product
from pulp import LpProblem, lpSum, value
from ortoolpy import addbinvars

s = ('. . 6 |. . . |. . 1 '
     '. 7 . |. 6 . |. 5 . '
     '8 . . |1 . 3 |2 . . '
     '------+------+------'
     '. . 5 |. 4 . |8 . . '
     '. 4 . |7 . 2 |. 9 . '
     '. . 8 |. 1 . |7 . . '
     '------+------+------'
     '. . 1 |2 . 5 |. . 3 '
     '. 6 . |. 7 . |. 8 . '
     '2 . . |. . . |4 . . ')
data = re.sub(r'[^\d.]','',s) # 数字とドット以外を削除
r = range(9)
a = pd.DataFrame([(i,j,(i//3)*3+j//3,k+1,c==str(k+1))
    for (i,j),c in zip(product(r,r),data) for k in r],
    columns=['行','列','_3x3','数','固'])
a['Var'] = addbinvars(len(a))
m = LpProblem()
for cl in [('行','列'),('行','数'),('列','数'),('_3x3','数')]:
    for _,v in a.groupby(cl):
        m += lpSum(v.Var) == 1
for _,r in a[a.==True].iterrows():
    m += r.Var == 1
m.solve() # ソルバーで求解

4. 結果を確認する

結果を列として表に追加しましょう。
結果が1(=選ばれた)のレコードを抜き出して、9x9に整形して表示します。

python
a['Val'] = a.Var.apply(value)
print(a[a.Val>0.5]..values.reshape(9,9))
>>>
[[5 3 6 8 2 7 9 4 1]
 [1 7 2 9 6 4 3 5 8]
 [8 9 4 1 5 3 2 6 7]
 [7 1 5 3 4 9 8 2 6]
 [6 4 3 7 8 2 1 9 5]
 [9 2 8 5 1 6 7 3 4]
 [4 8 1 2 9 5 6 7 3]
 [3 6 9 4 7 1 5 8 2]
 [2 5 7 6 3 8 4 1 9]]

A. Q&A

Q: 4. 結果を確認するで、a.Val>0.5は、a.Val==1ではないのですか?

  • A: ソルバーでは、整数変数も実数として計算しています。そのため、ごくたまに、0.99999999などの出力になることもあります。従って、等号ではなく不等号で判断しています。

Q: lpSumとは何ですか?sumではダメですか?

B. 参考


  1. 数独は株式会社二コリ登録商標です。 

10
Help us understand the problem. What is going on with this article?
Why not register and get more from Qiita?
  1. We will deliver articles that match you
    By following users and tags, you can catch up information on technical fields that you are interested in as a whole
  2. you can read useful information later efficiently
    By "stocking" the articles you like, you can search right away

Comments

No comments
Sign up for free and join this conversation.
Sign Up
If you already have a Qiita account Login
10
Help us understand the problem. What is going on with this article?