結論

path

link_toでよく使われる
redirect_to以外で使用する

url

redirect_toの時に使用する

ちなみにpathの場合

<%= link_to '店舗様専用登録ページ', 'signup' %>
みたいにシングルクォーテーションで囲ってもいけますし、
<%= link_to '店舗様専用登録ページ', signup_path %>
こう書いても大丈夫でした。

最後に

間違っているところがあればご指摘いただけると幸いです。

参考記事

追記 11/24

ご指摘いただいた箇所があったので訂正致します。
<%= link_to '店舗様専用登録ページ', 'signup' %>
文字列として渡してもいいと書いてしまいましたが、URLを変更したくなった時に変更する箇所が多くなってしまったり、設定によってリンクが機能しなくなることからRailsではあまり推奨されていないみたいです。