概要
炭素の六員環からなる二次元物質グラフェンは皆さまご存じでしょうか．
ノーベル賞もとったことがあるすごい物質です．
今回はそのグラフェンのエネルギーバンドをPython (matplotlib)で描画していきます．
理論
まず小難しい数式だけここにまとめておきます．
六方格子のような周期性を持つ構造においては，一般にブロッホの定理が成り立つ．
...ちょっと数式書くのめんどくさいので気が向いたら追記することとします．
解だけ置いておきます．
${E_{2g}(\vec{k}) = \frac{\epsilon_{2p}\pm t\omega(\vec{k})}{1\pm s\omega(\vec{k})}}, \omega(\vec{k}) = \sqrt{|e^{ik_xa/2\sqrt{3}}+2e^{-ik_xa/2\sqrt{3}}\cos{\frac{k_ya}{2}}|^2}$
ただし$a$は炭素の六員環の原子間距離の$\sqrt{3}$倍，$\epsilon_{2p}$は$2p_z$軌道のエネルギー，$t$は最近接原子間のトランスファー積分，$s$は最近接原子間の重なり積分である．
コード
さて，難しい話は置いておいて楽しい楽しい可視化の時間です．
まずは関数$\omega(k)$から行きましょう．これはそのまま書くだけですね．
def w(x: np.ndarray | float, y: np.ndarray | float) -> np.ndarray | float:
ret = np.exp(1 * x * a * 1j / np.sqrt(3)) + 2 * np.exp(-1 * x * a * 1j / (2 * np.sqrt(3))) * np.cos(y * a / 2)
return np.abs(ret)
次に$E_2g$です．こちらは符号が2種類あるので分岐をつけておきましょう．
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib import rc
def E_2g(x: np.ndarray | float, y: np.ndarray | float, sign: str) -> np.ndarray | float:
w_ = w(x, y)
if sign == '+':
return (e2p + t * w_)/(1 + s * w_)
if sign == '-':
return (e2p - t * w_)/(1 - s * w_)
print('wrong sign. sign should be "+" or "-".')
return -1
さて，これで必要なものは揃いましたがいろいろな定数が必要なのでクラスにまとめてしまいます．
class BandOfGraphene:
e2p = 0 # 2pz軌道エネルギー
t = -3.033 # 最近接原子間のトランスファー積分
s = 0.129 # 最近接原子間の重なり積分
a = 2.46 # 基本格子ベクトルaの大きさ．炭素の原子間距離の√3倍
b = (4 * np.pi) / (np.sqrt(3) * a) # 逆格子ベクトルbの大きさ
width = b / np.sqrt(3) # グラフの幅
def w(self, x: np.ndarray | float, y: np.ndarray | float) -> np.ndarray | float:
ret = np.exp(1 * x * self.a * 1j / np.sqrt(3)) + 2 * np.exp(-1 * x * self.a * 1j / (2 * np.sqrt(3))) * np.cos(y * self.a / 2)
return np.abs(ret)
def E_2g(self, x: np.ndarray | float, y: np.ndarray | float, sign: str) -> np.ndarray | float:
w = self.w(x, y)
if sign == '+':
return (self.e2p + self.t * w)/(1 + self.s * w)
if sign == '-':
return (self.e2p - self.t * w)/(1 - self.s * w)
print('wrong sign. sign should be "+" or "-".')
return -1
描画！
お待ちかねの描画です．3次元のいい感じのグラフを以下のコードで描けます．
ついでに六角形の補助線とΓ点，K点，M点という代表的な点を入れました．
def plot(self, n: int = 100):
# プロットの設定
plt.rcParams["font.size"] = 20
plt.rcParams["font.family"] = 'Times New Roman'
rc('mathtext', **{'rm': 'serif', 'fontset': 'cm'})
fig = plt.figure(figsize=(10, 6))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d', facecolor='w')
# メインの計算
kx = np.linspace(-self.width, self.width, n)
ky = np.linspace(-self.width, self.width, n)
kx, ky = np.meshgrid(kx, ky)
e2g_plus = self.E_2g(kx, ky, '+')
e2g_minus = self.E_2g(kx, ky, '-')
ax.plot_surface(kx, ky, e2g_plus, zorder=1, cmap='plasma', vmax=15, vmin=-10)
ax.plot_surface(kx, ky, e2g_minus, zorder=2, cmap='plasma', vmax=15, vmin=-10)
# 補助線，補助点
line = np.zeros(4)
lines_x = [self.b / 2, 0, -1 * self.b / 2, -1 * self.b / 2, 0, self.b / 2]
lines_y = [self.width / 2, self.width, self.width / 2, -1 * self.width / 2, -1 * self.width, -1 * self.width / 2]
labels = ['Γ', 'M', 'K']
points_x = [0, self.b / 2, self.b / 2]
points_y = [0, 0, self.width / 2]
for i in range(6):
x_tmp = np.linspace(lines_x[i - 1], lines_x[i], 4)
y_tmp = np.linspace(lines_y[i - 1], lines_y[i], 4)
ax.plot(x_tmp, y_tmp, line, '-', zorder=3, color='k', linewidth=2)
for label, x, y in zip(labels, points_x, points_y):
z = self.E_2g(x, y, '+')
ax.plot(x, y, z, 'o', color='k', zorder=4)
ax.text(x, y, z + 1, label, zorder=5, fontdict={'family': 'Arial'})
# 軸ラベル
ax.set_xlabel(r'$\rm k_{x}$')
ax.set_ylabel(r'$\rm k_{y}$')
ax.set_zlabel('$E$ [eV]')
ax.set_xticks([])
ax.set_yticks([])
ax.set_zticks([])
plt.show()
結果
いいですね～
ぐりぐり動かせるのがmatplotlibのいいところなので，ぜひ皆さんの環境で実行してみてください．
次回予告
次はカーボンナノチューブ（CNT）の電子状態密度（DOS）を計算してグラフにしていきます．
乞うご期待！
備考
GitHubで公開中です．