「え、分子量だけで流体力学的半径がわかるの？」
そう、わかるんです。しかもブラウザ上で、スライダーを動かすだけで。
今日は、NovaSolverが提供する「タンパク質特性・分子量計算機」を題材に、タンパク質の物理化学的特性を数式→コード→実測値対応まで一気に解説します。
「pIって何？」「SDS-PAGEのバンド位置、実験前に予測できるの？」「Rhと分子量の関係、実は単純なスケーリング則だった」――そんな疑問が、この記事を読めば自分で計算できるレベルに変わります。
ざっくり本質：タンパク質は「電荷のバランス」と「大きさのスケーリング」で語れる
タンパク質の特性を決める要素は、大きく分けて2つしかありません。
- 電荷のバランス → 等電点(pI)・滴定曲線・イオン交換クロマト条件
- 分子の大きさ → 流体力学的半径(Rh)・拡散係数・沈降係数・SDS-PAGE位置
そして驚くべきことに、分子量さえわかれば、Rhはほぼ決まるんです。
「タンパク質の『大きさ』は、分子量の1/3乗に比例する」
— 球状タンパク質の経験則
この単純な事実が、DLS（動的光散乱）や分析超遠心のデータ解釈を劇的に変えます。
数式で理解する：4つの式で全てがつながる
① 流体力学的半径 Rh（最も基本的な特性値）
R_h \approx 0.066 \cdot MW^{1/3} \quad (\text{nm})
- $MW$: 分子量 (Da)
- 係数0.066は、球状タンパク質の平均的な密度と形状から決まる経験値
重要: この式は「天然状態の球状タンパク質」を前提としています。変性状態ではRhが大きく変わるので注意。
② 拡散係数 D（Stokes-Einsteinの式）
D = \frac{k_B T}{6\pi\eta R_h}
- $k_B$: ボルツマン定数 ($1.38 \times 10^{-23} , \text{J/K}$)
- $T$: 絶対温度 (K)
- $\eta$: 溶媒の粘度 (Pa·s)
- 分母の $6\pi\eta R_h$ は「ストークス抵抗」
温度を上げると $\eta$ が下がり、$D$ は大きくなります。
③ 沈降係数 s（超遠心の基礎）
s = \frac{M(1-\bar{v}\rho)}{N_A f}
- $M$: 分子量 (g/mol)
- $\bar{v}$: 部分比容（タンパク質≈0.73 mL/g）
- $\rho$: 溶媒密度 (g/mL)
- $N_A$: アボガドロ数
- $f = 6\pi\eta R_h$: 摩擦係数
分子量が大きいほど沈降しやすいが、Rhも大きくなるため単純比例ではない。
④ 等電点 pI（電荷バランス）
pIは「正味電荷 = 0」となるpH。酸性アミノ酸（Asp, Glu）が増えるとpIは下がり、塩基性アミノ酸（Lys, Arg, His）が増えると上がる。
計算方法: 各アミノ酸の側鎖pKa値を用いて、全電荷の総和が0になるpHを二分法で探索。
コードで実装する：JavaScriptで30行
以下のコードは、ツールのコア計算ロジックを再現したものです。分子量からRh・D・sを計算し、さらにpI探索まで行います。
// タンパク質特性計算コア（NovaSolver 互換）
const kB = 1.380649e-23; // J/K
const NA = 6.02214076e23; // /mol
const etaWater20C = 1.002e-3; // Pa·s (20℃)
const rhoWater = 0.998; // g/mL
const vBar = 0.73; // mL/g（タンパク質典型値）
// アミノ酸のpKa値（標準値）
const pKa = {
Asp: 3.9, Glu: 4.3, His: 6.0,
Lys: 10.5, Arg: 12.5, Cys: 8.3, Tyr: 10.1,
Nterm: 8.0, Cterm: 3.1
};
function calcProteinProps(MW, tempC, acidicAA, basicAA) {
const T = tempC + 273.15; // K
const eta = etaWater20C * Math.exp(-0.02 * (tempC - 20)); // 簡易粘度補正
// (1) 流体力学的半径 [nm]
const Rh = 0.066 * Math.pow(MW, 1/3);
// (2) 拡散係数 [m^2/s]
const D = (kB * T) / (6 * Math.PI * eta * Rh * 1e-9);
// (3) 沈降係数 [Svedberg, 1S = 1e-13 s]
const M_kg = MW / 1000 / NA; // g → kg/分子
const f = 6 * Math.PI * eta * Rh * 1e-9;
const s = (M_kg * (1 - vBar * rhoWater)) / f / 1e-13;
// (4) pI探索（二分法、簡易版）
function netCharge(pH) {
let charge = 0;
// N末端
charge += 1 / (1 + Math.pow(10, pH - pKa.Nterm));
// C末端
charge -= 1 / (1 + Math.pow(10, pKa.Cterm - pH));
// 酸性アミノ酸（-1 charge）
charge -= acidicAA / (1 + Math.pow(10, pH - pKa.Asp));
// 塩基性アミノ酸（+1 charge）
charge += basicAA / (1 + Math.pow(10, pKa.Lys - pH));
return charge;
}
let pH_low = 0, pH_high = 14;
for (let i = 0; i < 50; i++) {
const pH_mid = (pH_low + pH_high) / 2;
if (netCharge(pH_mid) > 0) pH_low = pH_mid;
else pH_high = pH_mid;
}
const pI = (pH_low + pH_high) / 2;
return { Rh, D, s, pI };
}
// 使用例：MW=50,000 Da, 20℃, 酸性10個, 塩基性8個
const result = calcProteinProps(50000, 20, 10, 8);
console.log(`Rh = ${result.Rh.toFixed(2)} nm`);
console.log(`D = ${(result.D * 1e11).toFixed(2)} ×10^{-11} m²/s`);
console.log(`s = ${result.s.toFixed(1)} S`);
console.log(`pI = ${result.pI.toFixed(2)}`);
出力例:
Rh = 2.44 nm
D = 8.79 ×10^{-11} m²/s
s = 4.5 S
pI = 5.72
数値例で確かめる：50 kDaの球状タンパク質
条件:
- 分子量: 50,000 Da
- 温度: 20℃
- 酸性アミノ酸: 10個 (Asp+Glu)
- 塩基性アミノ酸: 8個 (Lys+Arg+His)
計算過程:
- Rh: $0.066 \times (50000)^{0.333} = 0.066 \times 36.84 = 2.43$ nm
-
D:
- $k_B T = 1.38 \times 10^{-23} \times 293 = 4.04 \times 10^{-21}$ J
- $6\pi\eta R_h = 6\pi \times 1.002 \times 10^{-3} \times 2.43 \times 10^{-9} = 4.59 \times 10^{-11}$
- $D = 4.04 \times 10^{-21} / 4.59 \times 10^{-11} = 8.80 \times 10^{-11}$ m²/s
-
s:
- $M(1-\bar{v}\rho) = 50000 \times (1 - 0.73 \times 0.998) = 50000 \times 0.271 = 13550$ g/mol
- 分子あたりに直すと $2.25 \times 10^{-20}$ kg
- $f = 4.59 \times 10^{-11}$
- $s = 2.25 \times 10^{-20} / 4.59 \times 10^{-11} = 4.90 \times 10^{-10}$ s = 4.9 S
- pI: 二分法で探索 → 5.72
実測値との比較:
- 典型的な50 kDa球状タンパク質（例: ウシ血清アルブミン, BSA）のRhは約3.5 nm（計算値2.43nmより大きい）
- これはBSAが非球形（プロレート楕円体）であるため。球状近似では過小評価される。
シミュレーターで遊ぶ：3つの実験
実験1: 酸性アミノ酸を増やすとpIはどうなる？
- 設定: MW=50,000, 塩基性AA=8固定
- 酸性AA=5 → pI = 6.85
- 酸性AA=15 → pI = 4.72
- 酸性AA=25 → pI = 3.89
なぜ？: 酸性AA（Asp, Glu）は側鎖に-COOHを持ち、pHが上がるとCOO⁻になって負電荷を増やす。正味電荷を0にするには、より低いpH（H⁺が多い環境）が必要。
実験2: 温度を変えると何が変わる？
- 設定: MW=50,000, 酸性AA=10, 塩基性AA=8
- 20℃: D=8.80×10⁻¹¹, s=4.9 S
- 37℃: D=1.42×10⁻¹⁰, s=3.0 S
- 60℃: D=2.31×10⁻¹⁰, s=1.9 S
なぜ？: 温度上昇で水の粘度が下がる → 拡散しやすくなる（D増大）→ 沈降しにくくなる（s減少）。pIは変わらない（電荷の平衡定数は温度依存性が小さい）。
実験3: SDS-PAGEの推定位置
- 設定: MW=25,000 → ゲル中程
- 設定: MW=100,000 → ゲル上部（遅い）
- 設定: MW=10,000 → ゲル下部（速い）
注意: ツールのSDS-PAGE推定は、分子量の対数と移動度が線形という経験則に基づく。実際のゲルでは架橋度や泳動条件で変わるため、誤差±10%程度を見込む。
現場でハマるポイント：3つの落とし穴
1. 「計算pI = 絶対的な値」ではない
ツールは標準的なpKa値（教科書値）を使っています。しかし実際のタンパク質では、周囲のアミノ酸の電場や疎水環境によってpKaが1〜2単位ずれることがあります。
例: リゾチームのGlu35 → 標準pKa=4.3だが、実測値は約6.0。これは周囲の疎水性残基がCOO⁻の生成を妨げるため。
対策: 計算pIは「目安」。イオン交換クロマトの条件決めには必ず予備実験を。
2. Rhの経験式は「球状・天然状態」限定
R_h \approx 0.066 \cdot MW^{1/3}
この式は天然状態の球状タンパク質に対して導かれたものです。
- 変性状態: Rhが2〜3倍大きくなる（鎖が広がるため）
- 膜タンパク質: 界面活性剤ミセルに包まれるためRhが過大
- 糖鎖修飾: 糖鎖の水和でRhが増加
現場での使い方: DLSで測定したRhと計算値を比較 → 差が大きければ会合・変性・修飾を疑う。
3. SDS-PAGEの推定位置は「理想状態」
SDS-PAGEは変性状態で行うため、本来なら分子量と移動度はきれいに相関します。しかし：
- グリコシル化タンパク質: 糖鎖がSDSの結合を阻害 → 見かけの分子量が大きく出る
- 膜タンパク質: 疎水性領域がSDSを多く結合 → 見かけの分子量が小さく出る
- リン酸化: 負電荷が増える → やや速く泳動
例: 高度にグリコシル化されたタンパク質（計算MW=70 kDa）がSDS-PAGEで100 kDa付近に出ることは珍しくない。
まとめ：タンパク質の「見えない姿」を数値で掴む
- 分子量からRhが計算できる → 経験式 $R_h \approx 0.066 \cdot MW^{1/3}$ は強力だが、球状・天然状態限定
- pIは電荷バランスで決まる → 酸性AA増やすとpI低下。ただし実測値とはズレる
- 温度は拡散・沈降に影響するがpIは不変 → 製剤設計で重要
- SDS-PAGE位置は「理論値」として活用 → 修飾タンパク質ではズレることを前提に
このツールの真価は、実験前に「あるべき値」を予測できること。そして実測値との差から、タンパク質の状態（会合・変性・修飾）を推測できることです。
ぜひ実際にブラウザで動かしてみてください。スライダー1つでRhやpIが変わる様子は、タンパク質物理化学の直感を養うのに最適です。
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