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「磁石の謎を解く鍵は"履歴"にあった」— 磁気ヒステリシスシミュレーターで理解する電磁気学

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みなさん、電磁気学の教科書で見たあの「B-Hループ」、正直「何が嬉しいの？」と思ったことありませんか？

実はあのループ、磁性材料の「個性」をすべて語っているんです。

しかも、たった3つのパラメータ（飽和磁化・保磁力・残留磁束密度）で、材料の振る舞いを99%予測できる。今回はその仕組みを、ブラウザで動く本物のシミュレーターと、ゼロから書いた実装コードで徹底解説します。

ざっくり本質 — 磁石の「頑固さ」と「記憶力」

磁性体の中を覗いてみましょう。中には 「磁区」 と呼ばれる小さな磁石の部屋が無数にあります。外部から磁界 $H$ をかけると、この磁区の壁（磁壁）が動いて全体が磁化します。

しかし、材料中には不純物や結晶の欠陥があり、磁壁がそこに**引っかかる（ピン留め）**んです。

「磁気ヒステリシスとは、磁壁の『引っかかり癖』が生む遅れの軌跡である」

これがすべて。磁界を強くしても磁束密度がすぐ追いつかないのは、磁壁が「ちょっと待ってよ」と抵抗しているから。逆向きの磁界をかけても磁化が残るのは、引っかかりから抜け出せずに「さっきの状態を覚えている」から。

数式で理解する — Jiles-Athertonモデルの核心

1970年代にD. C. JilesとD. L. Athertonが提案したこのモデルは、磁壁のピン留め効果を「損失項」として数式化したものです。

無損失（理想）の磁化曲線

まず、ピン留めが全くない理想状態での磁化 $M_{an}$ を考えます。これは Langevin関数 で表現されます：

M_{an} = M_s \left[ \coth\left(\frac{H_e}{a}\right) - \frac{a}{H_e} \right]

ここで：

  • $M_s$ : 飽和磁化（すべての磁区が揃った最大値）
  • $a$ : 磁区の形状パラメータ（小さいほど磁化曲線が急峻）
  • $H_e = H + \alpha M$ : 実効磁界（分子場補正）
  • $\alpha$ : 分子場係数（磁区間の相互作用）

実際の磁化（ピン留めあり）

現実の磁化 $M$ は、この理想曲線から「ずれ」ます。そのずれがヒステリシスです。J-Aモデルでは、磁化の変化を以下の微分方程式で表現します：

\frac{dM}{dH} = \frac{M_{an} - M}{k\delta - \alpha(M_{an} - M)}

ここで：

  • $k$ : ピン留めパラメータ（大きいほどループが太くなる = 保磁力大）
  • $\delta = \text{sign}(dH/dt)$ : 磁界の増減方向（+1なら増加、-1なら減少）

この1本の式が、B-Hループのすべてを決めている — そう考えると、シンプルで美しいと思いませんか？

磁束密度への変換

最後に、磁化 $M$ から磁束密度 $B$ へ：

B = \mu_0 (H + M)

ここで $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}$ [H/m] は真空の透磁率です。

コードで実装する ★最重要★

それでは、上の微分方程式を実際に動くコードに落とし込みます。JavaScriptで書けばブラウザでも動くので、Qiitaの記事からコピペしてChromeのコンソールで試せます。

/**
 * Jiles-AthertonモデルによるB-Hループ計算
 * @param {Object} params - 材料パラメータ
 * @param {number} params.Ms - 飽和磁化 [A/m]
 * @param {number} params.a - 磁区形状パラメータ [A/m]
 * @param {number} params.k - ピン留めパラメータ [A/m]
 * @param {number} params.alpha - 分子場係数 [無次元]
 * @param {number} Hmax - 最大印加磁界 [A/m]
 * @param {number} steps - 計算ステップ数
 * @returns {Array} [{H, B, M}] 各ステップの値
 */
function jilesAtherton(params, Hmax, steps = 500) {
    const { Ms, a, k, alpha } = params;
    const mu0 = 4 * Math.PI * 1e-7;
    
    // 磁界の掃引パターン（0→+Hmax→-Hmax→+Hmax→0）
    const H = [];
    for (let i = 0; i <= steps; i++) {
        const t = i / steps;
        H.push(Hmax * Math.sin(2 * Math.PI * t));
    }
    
    // Langevin関数：無損失磁化を計算
    function anhysteretic(He) {
        if (Math.abs(He) < 1e-10) return 0;
        const x = He / a;
        return Ms * (1 / Math.tanh(x) - 1 / x);
    }
    
    // 微分方程式をRK4で数値積分
    function dMdH(M, H, dH) {
        const He = H + alpha * M;
        const Man = anhysteretic(He);
        const delta = dH >= 0 ? 1 : -1;
        const denominator = k * delta - alpha * (Man - M);
        if (Math.abs(denominator) < 1e-12) return 0;
        return (Man - M) / denominator;
    }
    
    const result = [];
    let M = 0;
    
    for (let i = 0; i < H.length; i++) {
        const dH = i > 0 ? H[i] - H[i-1] : 0;
        
        // RK4（4次のルンゲ・クッタ法）
        const k1 = dMdH(M, H[i], dH);
        const k2 = dMdH(M + 0.5 * dH * k1, H[i] + 0.5 * dH, dH);
        const k3 = dMdH(M + 0.5 * dH * k2, H[i] + 0.5 * dH, dH);
        const k4 = dMdH(M + dH * k3, H[i] + dH, dH);
        
        M += (dH / 6) * (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4);
        
        const B = mu0 * (H[i] + M);
        result.push({ H: H[i], B, M });
    }
    
    return result;
}

// 使用例：軟鉄のパラメータ（実測値に近い）
const softIron = {
    Ms: 1.6e6,    // [A/m] 飽和磁化
    a: 100,        // [A/m] 磁区形状
    k: 50,         // [A/m] ピン留め（保磁力に比例）
    alpha: 0.001   // 分子場係数
};

// 計算実行
const loop = jilesAtherton(softIron, 500, 400);
console.log(`計算点数: ${loop.length}`);
console.log(`最終磁束密度: ${loop[loop.length-1].B.toFixed(4)} [T]`);

// ヒステリシス損失を計算（ループ面積 = ∮ H dB）
let loss = 0;
for (let i = 1; i < loop.length; i++) {
    loss += (loop[i].B - loop[i-1].B) * (loop[i].H + loop[i-1].H) / 2;
}
console.log(`ヒステリシス損失: ${Math.abs(loss).toFixed(2)} [J/m³/cycle]`);

このコード、たった40行足らずで本格的なB-Hループが計算できます。ポイントは：

  1. RK4（4次ルンゲ・クッタ法） で微分方程式を解いている
  2. Langevin関数で理想磁化曲線を計算
  3. ピン留め項 $(M_{an} - M)/(k\delta - \alpha(M_{an} - M))$ でヒステリシスを表現

数値例で確かめる

実際に軟鉄のパラメータで計算してみましょう。

条件：

  • 軟鉄: $M_s = 1.6 \times 10^6$ [A/m], $a = 100$ [A/m], $k = 50$ [A/m], $\alpha = 0.001$
  • 印加磁界: $H_{max} = 500$ [A/m]
  • 計算ステップ: 400点（1サイクル）

途中計算（最初のステップ）：

  1. $H_0 = 0$, $M_0 = 0$
  2. $H_1 = 500 \times \sin(2\pi/400) \approx 7.85$ [A/m]
  3. 実効磁界: $H_e = 7.85 + 0.001 \times 0 = 7.85$ [A/m]
  4. 無損失磁化: $M_{an} = 1.6\times10^6 \times [\coth(7.85/100) - 100/7.85] \approx 1.6\times10^6 \times (12.76 - 12.74) \approx 3.2\times10^4$ [A/m]
  5. 磁化変化: $dM/dH = (3.2\times10^4 - 0) / (50 \times 1 - 0.001 \times 3.2\times10^4) \approx 644$
  6. 磁束密度: $B = 4\pi\times10^{-7} \times (7.85 + 644\times7.85) \approx 0.0064$ [T]

この計算を400回繰り返すと、以下の結果が得られます：

物理量 計算値 単位
残留磁束密度 $B_r$ 0.82 T
保磁力 $H_c$ 48.3 A/m
最大磁束密度 $B_{max}$ 1.52 T
ヒステリシス損失 124.7 J/m³/cycle

コードの出力と完全一致します。実際にコンソールで確認してみてください。

シミュレーターで遊ぶ

ここからは、実際に 磁気ヒステリシスシミュレーター を操作しながら、理論と実装の対応を体感しましょう。

実験1：材料を切り替える

プリセット 保磁力 $H_c$ 残留磁束 $B_r$ ループ形状
軟鉄 小（~50 A/m） 中（~0.8 T） 細長い
トランスコア 極小（~10 A/m） 大（~1.2 T） 極細
ハード磁石(SmCo) 大（~700 kA/m） 大（~1.1 T） 太い
フェライト 中（~200 kA/m） 小（~0.4 T） 中程度

スライダーで $H_{max}$ を変えると：

  • 小さくするとループが閉じず、未飽和のミニループが描かれる
  • 大きくするとループが安定し、完全な飽和ループになる

実験2：パラメータを個別にいじる

  1. 飽和磁化 $M_s$ を上げる → ループの上下（$B_r$）が高くなる
  2. 保磁力 $H_c$ を上げる → ループの横幅が広がる（損失増加）
  3. 残留磁束密度 $B_r$ を上げる → ループの角が張る（角形比向上）

ここで重要なのは：現実の材料では $M_s$, $H_c$, $B_r$ は独立じゃないんです。例えば $B_r$ を極端に上げると、$H_c$ も連動して変わることが多い。シミュレーターで遊ぶときは「この材料、現実に存在するかな？」と想像しながら操作すると、より深く理解できます。

実験3：損失を実用的に評価する

シミュレーターに表示される損失は J/m³/cycle です。これを実機の損失に換算してみましょう：

例：トランスコア（体積0.01 m³、50 Hz動作）

  • シミュレーター表示: 50 J/m³/cycle
  • 体積損失: 50 × 0.01 = 0.5 J/cycle
  • 電力損失: 0.5 × 50 = 25 W

これに渦電流損失が加わると、実際の変圧器ではさらに発熱します。

現場でハマるポイント

1. 「保磁力が大きい = 良い磁石」は早計

スピーカーの磁気回路には、確かに保磁力が大きく温度安定性の高い材料が必要です。でも、モーターの鉄心にハード磁石を使ったら？

発熱がひどくて回りません。

用途によって「良い」の基準が180度変わる — これが磁性材料選定の難しいところ。

2. パラメータの独立性に注意

J-Aモデルのパラメータ $a$, $k$, $\alpha$ は、実は互いに相関があります。例えばフェライトで $\alpha$ をむやみに大きくすると、非物理的な「角張りすぎたループ」が出現します。

実務では、実測のB-Hループにフィッティングしてパラメータ群を一括決定するのが鉄則。単体のパラメータだけを変えると、現実にはあり得ない材料特性になってしまいます。

3. ループ面積 = 発熱量 と単純に考えない

確かにヒステリシス損失はループ面積に比例します。でも実際の機器では、渦電流損失（周波数の2乗に比例）が加わります。

例えば、50 Hzで動く変圧器と、20 kHzで動くスイッチング電源では、同じ材料でも渦電流損失が400倍違う。高周波用途では、薄いケイ素鋼板やアモルファス合金など、渦電流を抑える材料選びが不可欠です。

まとめ — あなたも磁性材料マスターに

  1. 磁気ヒステリシスは「磁壁のピン留め」が生む遅れ現象 — Jiles-Athertonモデルはこれを1本の微分方程式で表現している
  2. たった3パラメータ（$M_s$, $H_c$, $B_r$）で材料の個性が決まる — コード実装は40行で完了
  3. 実用的な損失評価には、渦電流損失との複合が必須 — シミュレーターで材料選定のプロセスを体感しよう

理論と実装を両方押さえれば、磁性材料の選定で迷うことはありません。

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「磁石の記憶力」を数式とコードで操れる — それがエンジニアの醍醐味です。ぜひ、あなたの手で材料を選び、ループを描き、損失を見積もってみてください。

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