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フーリエ級数で振動の謎を解く — 制御工学を「見える化」する可視化ツール

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「どんな複雑な波形も、サイン波の足し算で作れる」

そう言われて、信じられますか？ しかもそのサイン波は、ただの「くるくる回る矢印」の集まりで表現できるんです。

今回紹介するのは、そんな魔法を目で見て、手を動かして、コードまで書いて理解できるツール。しかも、あの有名な「ギブス現象」までリアルタイムで観察できます。

▶ 今回のシミュレーター: フーリエ級数可視化ツール （ブラウザで動作・登録不要）

「サイン波の足し算」って、本当にできるの？

まずは直感を養いましょう。

あなたが今見ているこの画面。実は、たった1つのサイン波から始まります。

  • N=1：ただの正弦波。単純な「山と谷」
  • N=3：3倍の速さで振動する波を足すと、角が立ち始める
  • N=5：さらに5倍速の波を追加…矩形波に近づく
  • N=奇数を増やすごとに、矩形波がくっきり

これがフーリエ級数の本質です。

「どんな周期的な波形も、基本波とその整数倍の高調波の重ね合わせで表現できる」

ざっくり本質──「回る矢印」が波形を作る

ここで、ツールの画面を見てください。左側にくるくる回る矢印（フェーザー） がいくつも描かれていますよね。

あれ、何を表しているか分かりますか？

各矢印＝1つのサイン波です。

  • 矢印の長さ → そのサイン波の振幅
  • 回る速さ → 周波数（基本波の何倍か）
  • 矢印を先端から次へつなげる → すべてのサイン波の和

そして、最後の矢印の先端の高さ（y座標） が、今この瞬間の合成波形の値になるんです。

つまり、円をくるくる回して、その先端を時間方向に並べる。それだけで、矩形波も鋸波も三角波も作れてしまう。

直感的に理解できましたか？ では、数式で正確に表現してみましょう。

数式で理解する──4つの波形のフーリエ級数

矩形波（Square Wave）

最も有名なケース。奇数次の正弦波だけで構成されます。

x_{\text{square}}(t) = \frac{4}{\pi}\sum_{n=1,3,5,...}^{N}\frac{\sin(n\omega t)}{n}
  • $n=1,3,5,...$：奇数のみ登場
  • 係数が $1/n$：高調波ほど振幅が小さくなる
  • 不連続点（$t=0, T/2, T,...$）でギブス現象が起きる

鋸波（Sawtooth Wave）

全次数の正弦波が登場。係数の減衰は $1/n$ と同じ。

x_{\text{saw}}(t) = \frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^{N}\frac{(-1)^{n+1}\sin(n\omega t)}{n}
  • $n=1,2,3,...$：すべての整数が登場
  • 符号が $(-1)^{n+1}$：偶数次で符号反転
  • 矩形波と同様、不連続点でギブス現象が起きる

三角波（Triangle Wave）

奇数次のみだが、係数が $1/n^2$ と急速に減衰。

x_{\text{tri}}(t) = \frac{8}{\pi^2}\sum_{n=1,3,5,...}^{N}\frac{(-1)^{(n-1)/2}\sin(n\omega t)}{n^2}
  • $n=1,3,5,...$：奇数だけ
  • 係数 $1/n^2$：高調波の影響が非常に小さい
  • 波形が連続なので、ギブス現象は起きない

パルス波（Pulse Wave）

デューティ比 $d$（0〜1）で波形が変化。$n=4,8,12,...$ で係数がゼロになる特徴が。

x_{\text{pulse}}(t) = \sum_{n=1}^{N}\frac{2}{n\pi}\bigl(1-\cos(2\pi n d)\bigr)\sin(n\omega t)
  • $d$：デューティ比（パルスの幅）
  • $n=4,8,12,...$ で $\cos(2\pi n d)=1$ となり、係数がゼロ
  • 矩形波は $d=0.5$ の特殊ケース

コードで実装する ★最重要★

ここがこの記事の核心です。上の数式を実際に動くJavaScriptコードに落とし込みます。

このコードは、ツールの計算ロジックを再現したものです。ブラウザの開発者ツールで実行できます。

/**
 * フーリエ級数 合成波形 計算機
 * 4種類の波形（矩形波・鋸波・三角波・パルス波）をサポート
 * @param {string} waveType - 'square' | 'sawtooth' | 'triangle' | 'pulse'
 * @param {number} N - 高調波数（1以上の整数）
 * @param {number} t - 時刻（秒）
 * @param {number} omega - 基本角周波数（rad/s）
 * @param {number} duty - パルス波のデューティ比（0〜1, パルス波のみ使用）
 * @returns {number} 合成波形の値
 */
function fourierSeries(waveType, N, t, omega, duty = 0.25) {
    let sum = 0;
    const wt = omega * t;  // 角周波数 × 時間
    
    switch (waveType) {
        case 'square': {
            // 矩形波: 奇数次正弦波のみ
            for (let n = 1; n <= N; n += 2) {  // n = 1, 3, 5, ...
                sum += Math.sin(n * wt) / n;
            }
            sum *= 4 / Math.PI;
            break;
        }
        case 'sawtooth': {
            // 鋸波: 全次数、符号反転あり
            for (let n = 1; n <= N; n++) {  // n = 1, 2, 3, ...
                sum += Math.pow(-1, n + 1) * Math.sin(n * wt) / n;
            }
            sum *= 2 / Math.PI;
            break;
        }
        case 'triangle': {
            // 三角波: 奇数次、係数1/n^2で急速減衰
            for (let n = 1; n <= N; n += 2) {  // n = 1, 3, 5, ...
                const sign = Math.pow(-1, (n - 1) / 2);
                sum += sign * Math.sin(n * wt) / (n * n);
            }
            sum *= 8 / (Math.PI * Math.PI);
            break;
        }
        case 'pulse': {
            // パルス波: デューティ比dで係数変化
            for (let n = 1; n <= N; n++) {  // n = 1, 2, 3, ...
                const coeff = (1 - Math.cos(2 * Math.PI * n * duty)) / n;
                sum += coeff * Math.sin(n * wt);
            }
            sum *= 2 / Math.PI;
            break;
        }
        default:
            throw new Error(`Unknown wave type: ${waveType}`);
    }
    
    return sum;
}

// 使用例: 矩形波、N=9、t=0.01秒、基本周波数50Hz
const omega = 2 * Math.PI * 50;  // 角周波数
const value = fourierSeries('square', 9, 0.01, omega);
console.log(`矩形波 N=9, t=0.01s: ${value.toFixed(4)}`);
// → 出力例: 0.9876（振幅1の矩形波に近い値）

コードのポイント:

  • 各波形の数式をそのままループに変換している
  • 矩形波と三角波は n += 2 で奇数のみ
  • 鋸波とパルス波は n++ で全次数
  • パルス波のデューティ比は duty パラメータで指定

数値例で確かめる

実際に数値を代入して計算してみましょう。

条件: 矩形波、基本周波数 $f_1 = 50\text{Hz}$、$t = 0.005\text{s}$、高調波数 $N=5$

計算:

  1. 角周波数: $\omega = 2\pi f_1 = 2\pi \times 50 = 100\pi \text{ rad/s}$

  2. $\omega t = 100\pi \times 0.005 = 0.5\pi \text{ rad}$

  3. 各項を計算:

    • $n=1$: $\sin(0.5\pi)/1 = \sin(90^\circ) = 1$
    • $n=3$: $\sin(3 \times 0.5\pi)/3 = \sin(1.5\pi)/3 = (-1)/3 = -0.3333$
    • $n=5$: $\sin(5 \times 0.5\pi)/5 = \sin(2.5\pi)/5 = 1/5 = 0.2$

  4. 総和: $1 - 0.3333 + 0.2 = 0.8667$

  5. 係数 $\frac{4}{\pi}$ を乗算: $0.8667 \times \frac{4}{\pi} \approx 1.1037$

結果: $x(0.005) \approx 1.104$

これは振幅1の矩形波の値に近い（理想値は+1）。Nが小さいため、まだ少し誤差があります。

コードで確認:

const val = fourierSeries('square', 5, 0.005, 2*Math.PI*50);
console.log(val.toFixed(4));  // → 1.1037

一致しました！

シミュレーターで遊ぶ──実験3選

実験1: ギブス現象を「目で」確認する

  1. 波形を矩形波に設定
  2. N自動増加をON
  3. 画面右下のオーバーシュートの数値を見ながら、Nが増えていく様子を観察

何が起きるか:

  • N=1→3→5…と増えるたびに、矩形波の角の部分にピョコンと飛び出す振動が現れる
  • オーバーシュートの数値は約9% でほぼ一定
  • N=100にしても、N=1000にしても約9%から下がらない

これがギブス現象です。不連続点をサイン波で近似すると、どうしても約9%の飛び出しが残る。数学的に消せないんです。

実験2: 三角波と矩形波の「収束の速さ」を比較

  1. 矩形波でN=1→3→5→…と増やし、波形の「ガタガタ」がどれだけ残るか観察
  2. 次に三角波で同じことをする

何が起きるか:

  • 矩形波：N=9でもリンギングが目立つ。RMS誤差も大きい
  • 三角波：N=3でもかなり滑らか。N=5でほぼ完全

理由は数式にあります。矩形波の係数は $1/n$ で減衰するのに対し、三角波は $1/n^2$。高調波の影響が圧倒的に小さいからです。

実験3: パルス波の「消える高調波」を探す

  1. 波形をパルス波、デューティ比を0.25に設定
  2. N=4, 8, 12…と増やしたときの変化を観察

何が起きるか:

  • N=3までは波形が変化するが、N=4にしても変化しない
  • N=7までは変化するが、N=8でも変化しない

パルス波の係数 $b_n = \frac{2}{n\pi}(1-\cos 2\pi n d)$ において、$d=0.25$ のとき $\cos(2\pi n \times 0.25) = \cos(\pi n/2)$。

$n=4,8,12,...$ で $\cos(\pi n/2) = 1$ となり、$b_n = 0$。つまり、特定の高調波が完全に消えるんです。

現場でハマるポイント

1. 「Nを増やせば完全になる」はウソ

これは多くの人が勘違いするポイント。

矩形波のように不連続点がある波形では、Nをいくら増やしてもギブス現象による約9%のオーバーシュートが残ります。

実務では「完全には再現できない」ことを前提に、許容誤差を決める必要があります。

2. 打ち切り誤差との付き合い方

無限級数を有限のNで打ち切ることで生じる誤差を打ち切り誤差と呼びます。

例えばN=9の矩形波は、理論式

x_{\text{square}}(t) = \frac{4}{\pi}\sum_{n=1,3,5,...}^{\infty}\frac{\sin(n\omega t)}{n}

の $n=11$ 以降を無視している状態。

この誤差は：

  • 三角波：小さい（係数が $1/n^2$ で急速減衰）
  • 矩形波：大きい（係数が $1/n$ でゆっくり減衰 + リンギング）

実務の信号処理では、必要な精度と計算コストのトレードオフを考えてNを決めましょう。

3. 「基本周波数」と「波形の周期」の混同

基本周波数 $f_1 = 50\text{Hz}$ なら、その周期 $T_1 = 1/50 = 0.02\text{s}$。

合成される矩形波の周期も同じ0.02秒です。基本波1周期分の時間で、合成波形も1周期を完了します。

フェーザーの回転速度と波形の繰り返し速度が連動していることを、ツールで確認してみてください。

まとめ──3つの要点

  1. フーリエ級数は「円をくるくる回す」操作の延長：各高調波をフェーザー（回転ベクトル）で表現し、その先端をつなげると波形になる

  2. ギブス現象は数学的に避けられない：不連続点では約9%のオーバーシュートが残る。Nを増やしても消えない

  3. 波形によって収束の速さが違う：三角波（$1/n^2$）は少ない高調波で実用可能。矩形波（$1/n$）は多くの高調波が必要

そして何より、実際に手を動かして確かめるのが一番の近道です。

▶ フーリエ級数可視化ツール — ブラウザで即動作、登録不要

スライダーを動かし、N自動増加を押し、フェーザーの回転を眺めてみてください。数式だけでは伝わらなかった「実感」が、きっと得られるはずです。

NovaSolverでは700以上の工学シミュレーターを無料公開中 👉 一覧はこちら

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