##v-selectのitemsは配列のみ

しかも、text/valueというkeyの指定付き。
でもAPIから取ってきたデータはオブジェクトの場合。

取ってきたデータ

api_data = {
 "id1":"hoge",
 "id2":"huga",
 "id3":"hogehoge",
}

を

select_items = [
 {
  text: "hoge",
  value: "id1"
 },
 {
  text: "huga",
  value: "id2"
 },
 {
  text: "hogehoge",
  value: "id3"
 }

にする状況の場合。

select_items = Object.keys(api_data).map( key => {
 return {
  text: api_data[key],
  value: key
 }
});

for in　を使うと

let select_itemse = [];
for(var key in api_data){
 select_itemse.push({
  text: api_data[key],
  value: key
 })
}

個人的にはmapを使った方がわかりやすいけど、for inは他の言語を触っている人にはわかりやすいと思う。

##キーが異なる場合

下記の様なデータの場合

api_data = [
 {
  "id":"id1",
  "title":"hoge"
 },
 {
  "id":"id2",
  "title":"huga"
 },
 {
  "id":"id3",
  "title":"hogehoge"
 }
}

item-text,item-valueプロパティを使います。

<v-select 
 items="api_data"
 item-text="title"
 item-value="id"
/>