Help us understand the problem. What is going on with this article?

Haskell上で有限体を使って遊ぶ

More than 1 year has passed since last update.

概要

Haskell上で有限体1を使って遊ぼうという記事です。

体って何?

元の集合$K$と、以下の性質を満たす乗算($a\cdot{b}$), 加算($a+b$)の組$(K,\cdot,+)$をと呼んでいます. なお, 乗算 $a\cdot{b}$ は演算子を省略して $ab$ と表記します.

  • 加法が$K$の中で閉じていること: $\forall a,b\in{K}$, $a+b\in{K}$
  • 乗法が$K$の中で閉じていること: $\forall a,b\in{K}$, $ab\in{K}$
  • 加法の結合律: $\forall a,b,c\in{K}$, $(a+b)+c=a+(b+c)$
  • 乗法の結合律: $\forall a,b,c\in{K}$, $(ab)c=a(bc)$
  • 加法の交換律: $\forall a,b\in{K}$, $a+b=b+a$
  • 乗法の交換律: $\forall a,b\in{K}$, $ab=ba$
  • 分配律: $\forall a,b,c\in{K}$, $a(b+c)=ab+ac$, $(a+b)c=ac+bc$
  • 加法単位元の存在: $\exists e\in{K}$, $\forall a\in{K}$, $e+a=a+e=a$
    (以下、加法単位元を$0$と表記)
  • 乗法単位元の存在: $\exists e\in{K}$, $\forall a\in{K}$, $e\cdot{a}=a\cdot{e}=a$
    (以下、乗法単位元を$1$と表記)
  • 加法逆元の存在: $\forall a\in{K}$, $\exists b\in{K}$, $a+b=b+a=0$
    (以下、$a$の加法逆元を$-a$と表記)
  • 乗法逆元の存在: $\forall a\in{K}\setminus\{0\}$, $\exists b\in{K}$, $ab=ba=1$
    (以下、$a$の乗法逆元を$a^{-1}$と表記)

私たちがよく知っている体の例としては, 有理数体$\mathbb{Q}$, 実数全体$\mathbb{R}$, 複素数体$\mathbb{C}$などがあります.

有限体

例として挙げた$\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$は元の数(位数)が無限個ある体ですが、有限個の元しかもたない($\equiv$ 位数が有限であるような)体のことを有限体と呼びます.
有限体の位数は常に素数$p$か, $p$のべき乗$p^n$ $(n=1,2,\dots)$ になることが知られています(ここでは証明はしません). また, 位数が素数$p$であるような体を素体2と呼びます.

有限体の例として, 剰余環3$\mathbb{Z}_5$がなす体を考えます.

乗算:

  • $1\cdot{0}\equiv{0}\ (\mathrm{mod} 5)$, $1\cdot{1}\equiv{1}\ (\mathrm{mod} 5)$, $1\cdot{2}\equiv{2}\ (\mathrm{mod} 5)$, $\dots$
  • $2\cdot{0}\equiv{0}\ (\mathrm{mod} 5)$, $2\cdot{1}\equiv{2}\ (\mathrm{mod} 5)$, $2\cdot{2}\equiv{4}\ (\mathrm{mod} 5)$, $2\cdot{3}\equiv{1}\ (\mathrm{mod} 5)$, $2\cdot{4}\equiv{3}\ (\mathrm{mod} 5)$
  • $\dots$
  • $\dots$ , $4\cdot{3}\equiv{2}\ (\mathrm{mod} 5)$, $4\cdot{4}\equiv{1}\ (\mathrm{mod} 5)$

加算:

  • $1+0\equiv{1}\ (\mathrm{mod} 5)$, $1+1\equiv{2}\ (\mathrm{mod} 5)$, $1+2\equiv{3}\ (\mathrm{mod} 5)$, $\dots$
  • $2+0\equiv{2}\ (\mathrm{mod} 5)$, $2+1\equiv{3}\ (\mathrm{mod} 5)$, $2+2\equiv{4}\ (\mathrm{mod} 5)$, $2+3\equiv{0}\ (\mathrm{mod} 5)$, $2+4\equiv{1}\ (\mathrm{mod} 5)$
  • $\dots$
  • $\dots$ , $4+3\equiv{2}\ (\mathrm{mod} 5)$, $4+4\equiv{3}\ (\mathrm{mod} 5)$

これを表にすると以下のようになります.

$\cdot$ 0 1 2 3 4 $+$ 0 1 2 3 4
0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4
1 0 1 2 3 4 1 1 2 3 4 0
2 0 2 4 1 3 2 2 3 4 0 1
3 0 3 1 4 2 3 3 4 0 1 2
4 0 4 3 2 1 4 4 0 1 2 3

この演算規則の上で, 例えば分配律が成り立つかどうか確認してみましょう.

2\cdot(3+4) = 2\cdot{2} = 4 \\
2\cdot{3}+2\cdot{4} = 1 + 3 = 4 \\
\therefore 2\cdot(3+4) = 2\cdot{3}+2\cdot{4}

Haskellで有限体を使う

Haskell上で有限体を扱うライブラリとしては, finite-field があります. 現段階では素体 $\mathbb{Z}_p$ にしか対応していませんが, 有限体をHaskell上の Num クラスの型として扱うための仕組みが一通り実装されています.

とりあえず cabal を使ってインストールします(sandbox を使います).

$ mkdir sandbox
$ cd sandbox/
$ cabal update
Downloading the latest package list from hackage.haskell.org
$ cabal get finite-field
Unpacking to finite-field-0.9.0/
$ cd finite-field-0.9.0/
$ cabal sandbox init
Writing a default package environment file to
.../sandbox/finite-field-0.9.0/cabal.sandbox.config
Creating a new sandbox at
.../sandbox/finite-field-0.9.0/.cabal-sandbox
$ cabal install --only-dependencies
Resolving dependencies...
Notice: installing into a sandbox located at
.../sandbox/finite-field-0.9.0/.cabal-sandbox
(snip)
$ cabal configure
Resolving dependencies...
Configuring finite-field-0.9.0...
$

実験のために repl(ghci)を立ち上げましょう. finite-field では素体 $\mathbb{Z}_p$ に対応する型を作るのに TemplateHaskell を使うので, 必要なオプションを指定します.

$ cabal repl --ghc-options="-XTemplateHaskell -XDataKinds"
Preprocessing library finite-field-0.9.0...
GHCi, version 8.0.2: http://www.haskell.org/ghc/  :? for help
[1 of 3] Compiling Data.FiniteField.Base ( src/Data/FiniteField/Base.hs, interpreted )
[2 of 3] Compiling Data.FiniteField.PrimeField ( src/Data/FiniteField/PrimeField.hs, interpreted )
[3 of 3] Compiling Data.FiniteField ( src/Data/FiniteField.hs, interpreted )
Ok, modules loaded: Data.FiniteField, Data.FiniteField.Base, Data.FiniteField.PrimeField.
*Data.FiniteField>

素体$\mathbb{Z}_5$を定義してみます. 位数$p$の素体を表す型はTemplateHaskellと型レベル自然数を使った $(primeField p) という式で定義できます. (実際の型は PrimeField n になります)

> type F5 = $(primeField 5)
> let a = 2 :: F5
> let b = 3 :: F5
> let c = 4 :: F5

さっき確認した分配律をここでも確認してみましょう.

> a*(b + c)
4
> a*b + a*c
4
>

PrimeField a 型は Fractional クラスのインスタンスにもなっているので, 1/x で逆数(乗法逆元)を求めることもできます.

> let d = 1/a
> d
3
> a*d
1
>

フェルマーの小定理4を実験的に確認してみましょう. 素数 $p=104561$ を法としたとき, $p$ と互いに素な整数 $a$ について, $a^{p-1}$ が $1$ になることを確かめてみます.

> let p = 104561
> type Fp = $(primeField p)
> let a = 123 :: Fp
> a^(p-1)
1
> let xs = [1..(p-1)] :: [Fp]
> map (^(p-1)) xs
[1,1,1,1,1,1,1,1,1, ... ,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]
>

体上の乗法群

位数$p$の有限体$K$について, 適切な元$\alpha\in{K}$をとると, 乗法群$\{1,\alpha,\alpha^2,\dots\}$は$\alpha$を生成元とした位数$p-1$の巡回群5になります.

実験的に確かめてみましょう.

> type F17 = $(primeField 17)
> let a = 3 :: F17
> take 33 $ iterate (a*) 1
[1,3,9,10,13,5,15,11,16,14,8,7,4,12,2,6,1,3,9,10,13,5,15,11,16,14,8,7,4,12,2,6,1]
> a^16
1

体$\mathbb{Z}_{17}$上で, $3^j$ $(j=0,1,\dots)$ によって$0$を除く全ての元を表すことができ, また,

3^{16} = 1

なので$16$乗で単位元に戻ってくる, 位数が$16=17-1$の巡回群を作ることができました.
生成元は唯一とは限りません. 試しに$7^j$ $(j=0,1,\dots)$を計算してみると,

> let b = 7 :: F17
> take 33 $ iterate (b*) 1
[1,7,15,3,4,11,9,12,16,10,2,14,13,6,8,5,1,7,15,3,4,11,9,12,16,10,2,14,13,6,8,5,1]
>

となり, $7$を生成元としても巡回群ができることがわかります.

まとまらない

体$K$上の多項式とか拡大体$\mathbb{F}(p^n)$とかそれらの応用の話もしようと思っていたのですが, ヘビーになりそうなので次の記事に送ります.


  1. 参考: 体に関する基本的なこと [物理のかぎしっぽ] 

  2. 厳密には, 「素体」とは自分自身以外の部分体をもたない体のことです. 

  3. 参考: Quotient Ring -- from Wolfram MathWorld 

  4. 参考: Fermat's Little Theorem -- from Wolfram MathWorld 

  5. 参考: 有限巡回群 [物理のかぎしっぽ] 

Why not register and get more from Qiita?
  1. We will deliver articles that match you
    By following users and tags, you can catch up information on technical fields that you are interested in as a whole
  2. you can read useful information later efficiently
    By "stocking" the articles you like, you can search right away
Comments
No comments
Sign up for free and join this conversation.
If you already have a Qiita account
Why do not you register as a user and use Qiita more conveniently?
You need to log in to use this function. Qiita can be used more conveniently after logging in.
You seem to be reading articles frequently this month. Qiita can be used more conveniently after logging in.
  1. We will deliver articles that match you
    By following users and tags, you can catch up information on technical fields that you are interested in as a whole
  2. you can read useful information later efficiently
    By "stocking" the articles you like, you can search right away
ユーザーは見つかりませんでした