以下の統計検定2級対策動画で用いられているスライドの一部です。
具体例から始めよう：パン屋の販売個数
あるパン屋の特別なクリームパンについて、1日の販売個数 $X$ は以下の確率分布に従います。
このパンは、1日あたり平均で何個売れると期待できるでしょうか？
| 販売個数 (x) | 10 | 20 | 30 | 40 |
|---|---|---|---|---|
| 確率 P(X=x) | 0.1 | 0.4 | 0.3 | 0.2 |
「期待値」とは？
確率変数がとりうる値について、 確率の重みを考慮した平均値 のこと。
- 多くの試行を繰り返したときに得られるであろう、 結果の平均 を示します。
- パン屋の例で言えば、「毎日パンを売り続けた場合、1日あたり平均で何個売れるか」という値です。
このパンの販売個数のように、値が飛び飛びになる確率変数を 離散型確率変数 と呼びます。
期待値の計算方法（離散型）
期待値は、 「確率変数のとりうる値」 と 「その値をとる確率」 の積を、すべての値について合計して求めます。
計算手順 1/2： 各値と確率を掛け合わせる
- 10個売れる場合: $10 \times 0.1 = 1.0$
- 20個売れる場合: $20 \times 0.4 = 8.0$
- 30個売れる場合: $30 \times 0.3 = 9.0$
- 40個売れる場合: $40 \times 0.2 = 8.0$
期待値の計算方法（離散型）
計算手順 2/2： すべての値を合計する
$$
E(X) = (10 \times 0.1) + (20 \times 0.4) + (30 \times 0.3) + (40 \times 0.2)
$$
$$
E(X) = 1.0 + 8.0 + 9.0 + 8.0 = 26.0
$$
結論
このクリームパンの1日あたりの販売個数の期待値は 26個 です。
確率分布の可視化
import matplotlib.pyplot as plt
# import japanize_matplotlib <- この行を削除またはコメントアウト
# Data for the bar chart
sales_counts = [10, 20, 30, 40]
probabilities = [0.1, 0.4, 0.3, 0.2]
# Create bar chart
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.bar(sales_counts, probabilities, width=5, color='skyblue', edgecolor='black')
# Add titles and labels in English
plt.title('Probability Distribution of Bread Sales')
plt.xlabel('Number of Sales (x)')
plt.ylabel('Probability P(X=x)')
plt.xticks(sales_counts)
plt.grid(axis='y', linestyle='--', alpha=0.7)
# Display the plot
plt.show()
次の例：機械部品の寿命
次に、別の種類の問題を考えてみましょう。
ある機械部品の寿命を $X$ （単位: 年）とします。この部品の寿命は、以下の 確率密度関数 $f(x)$ に従うことが分かっています。
この部品の寿命の期待値は、何年でしょうか？
$$
f(x) =
\begin{cases}
\frac{1}{18}x & (0 \le x \le 6) \
0 & (\text{otherwise})
\end{cases}
$$
連続型確率変数
- 時間や長さのように、ある範囲内の任意の実数値をとることができる確率変数を 連続型確率変数 と呼びます。
- パンの個数と違い、値が連続的です。
- 連続型の場合、「寿命がちょうど3.11111...年」という特定の値をとる確率は0になるため、 確率密度関数 $f(x)$ を使って考えます。
期待値の計算方法（連続型）
離散型では「値 × 確率」の 総和（ $\sum$ ） で計算しました。
連続型では、これを 積分（ $\int$ ） に置き換えて計算します。
「確率変数の値 $x$ 」と「確率密度関数 $f(x)$ 」の積を、定義されている全範囲で積分します。
期待値の計算手順（連続型）
手順 1/3： 期待値の式に代入する
確率密度関数が値を持つのは $0 \le x \le 6$ の範囲なので、積分範囲もそれに合わせます。
$$
E(X) = \int_{0}^{6} x \cdot f(x) dx = \int_{0}^{6} x \cdot \left(\frac{1}{18}x\right) dx
$$
期待値の計算手順（連続型）
手順 2/3： 式を整理して積分する
$$
E(X) = \int_{0}^{6} \frac{1}{18}x^2 dx
$$
定数 $\frac{1}{18}$ を積分の外に出します。
$$
E(X) = \frac{1}{18} \int_{0}^{6} x^2 dx
$$
$x^2$ を積分すると $\frac{1}{3}x^3$ なので、
$$
E(X) = \frac{1}{18} \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_{0}^{6}
$$
期待値の計算手順（連続型）
手順 3/3： 定積分を計算する
$$
E(X) = \frac{1}{18} \left( \frac{1}{3} \cdot 6^3 - \frac{1}{3} \cdot 0^3 \right)
$$
$$
E(X) = \frac{1}{18} \left( \frac{216}{3} \right) = \frac{1}{18} \cdot 72 = 4
$$
結論
この機械部品の寿命の期待値は 4年 です。
確率密度関数の可視化
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
# import japanize_matplotlib <- この行を削除またはコメントアウト
# Define the range for x
x = np.linspace(0, 6, 400)
# Define the probability density function
y = (1/18) * x
# Create the plot
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x, y, label='f(x) = (1/18)x')
plt.fill_between(x, y, color='skyblue', alpha=0.4)
# Add titles and labels in English
plt.title('Probability Density Function of Component Lifespan')
plt.xlabel('Lifespan in Years (x)')
plt.ylabel('Density f(x)')
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.ylim(bottom=0)
# Display the plot
plt.show()
まとめ：期待値の特徴
ここまでの具体例を踏まえ、期待値の特徴を一般化します。
期待値 $E(X)$ とは、確率変数がとる値の、 確率の重みを考慮した平均値 です。
確率変数が 「離散型」 か 「連続型」 かによって計算方法が異なります。
離散型 確率変数の期待値
- 特徴: 値が飛び飛びになる確率変数（例：サイコロの目、販売個数）。
-
公式:
- 確率変数がとりうる値を $x_i$
- それぞれの確率を $P(X=x_i)$ とすると、期待値は以下の 総和 で計算されます。
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i P(X=x_i)
$$
連続型 確率変数の期待値
- 特徴: ある範囲内の任意の実数値をとる確率変数（例：時間、長さ、重さ）。
-
公式:
- 確率密度関数を $f(x)$ とすると、期待値は以下の 積分 で計算されます。
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx
$$
なぜ期待値が重要なのか？
- 要約: 期待値は、複雑な確率分布の特性を 「平均的にどのくらいの値か」 という一つの数値で要約してくれます。
- 基礎: 統計学で学ぶ「分散」や、より高度な統計解析の基礎となる、非常に重要な概念です。
まずはこの計算方法をしっかりと身につけましょう。