以下の統計検定2級対策動画で用いられているスライドの一部です。

具体例から学ぶ標準偏差

ケース1：集団内での自分の位置を知る

あるプログラミング能力試験を受けました。

自分の成績が、 受験者全体の中でどのくらいのレベルなのか を客観的に知りたい…

このような場合、 標準偏差 を使うことで、集団内での相対的な位置を正確に評価できます。

【例題1】プログラミング能力試験

ある受験者Aさんの状況は以下の通りです。
この成績は、集団の中でどの程度の位置にあると言えるでしょうか？

項目	値
Aさんの得点	83点
受験者全体の平均点	65点
受験者全体の標準偏差	12点

解答ステップ①：平均からの距離を測る

まず、Aさんの得点が平均点からどれだけ離れているかを、 標準偏差を「ものさし」として 測ります。

Aさんと平均点の差： $83点 - 65点 = 18点$
標準偏差(12点)で割る： $18点 \div 12点 = 1.5$

これは、Aさんの得点が 「平均点から標準偏差1.5個分だけ高い位置」 にあることを意味します。

解答ステップ②：「偏差値」に変換する

次に、この「1.5」という値を、私たちがよく知る 偏差値 （平均50, 標準偏差10の尺度）に変換します。

$$
1.5 \times 10 + 50 = 65
$$

Aさんの偏差値は 65 となります。
偏差値の平均は50なので、65というスコアは かなり優秀な成績 であることが客観的にわかります。

【例題1のまとめ】

標準偏差は、集団内での 相対的な位置を測る「ものさし」 として機能します。
異なるテストの結果でも、偏差値に変換することで 同じ土俵で比較 することが可能になります。

具体例から学ぶ標準偏差

ケース2：データが発生する範囲を予測する

ある工場でボルトを製造しています。

製品の品質は安定しているか？
規格外の製品はどのくらいの確率で発生するのか を予測したい…

このような場合も、 標準偏差 と 正規分布 を組み合わせることで、データの発生範囲を予測できます。

【例題2】ボルトの品質管理

ある工場で製造されるボルトの長さは、以下の特性を持つ正規分布に従うことがわかっています。

項目	値
平均の長さ	50.0 mm
長さの標準偏差	0.2 mm

【例題2】問い

このとき、以下の問いに答えてください。

製造されたボルトのうち、長さが 49.8 mm から 50.2 mm の範囲に含まれるものは、全体の約何%ですか？
長さが 50.4 mm 以上 になるものは、全体の約何%ですか？

解説の鍵：正規分布と「68-95-99.7ルール」

多くの統計データは、平均値を中心とした左右対称の釣鐘型である 正規分布 に従います。正規分布には、標準偏差を使って、データが含まれる範囲を予測できる、という便利な性質があります。

平均 ± 1 標準偏差の範囲に、全体の約 68.3% が含まれる
平均 ± 2 標準偏差の範囲に、全体の約 95.4% が含まれる
平均 ± 3 標準偏差の範囲に、全体の約 99.7% が含まれる

正規分布の可視化

解答1：長さ 49.8 mm ～ 50.2 mm の割合

まず、この範囲が平均からどれだけ離れているかを確認します。

49.8 mm = 50.0 mm (平均) - 0.2 mm ( 1 × 標準偏差)
50.2 mm = 50.0 mm (平均) + 0.2 mm ( 1 × 標準偏差)

これは、「平均 ± 1 標準偏差」の範囲に該当します。
「68-95-99.7ルール」から、この範囲には全体の約 68.3% が含まれます。

解答2：長さ 50.4 mm 以上の割合

基準となる範囲を確認
- 50.4 mm は「平均 + 2 × 標準偏差」の点です。
- ルールより、「平均 ± 2 標準偏差」（49.6 mm ~ 50.4 mm）の範囲に 95.4% が含まれます。
範囲外の割合を計算
- この範囲から外れるデータは $100% - 95.4% = 4.6%$ です。
片側の割合を計算
- 正規分布は左右対称なので、上限側（50.4 mm以上）の割合はその半分です。
- $4.6% \div 2 = 2.3%$
よって、答えは全体の約 2.3% です。

具体例から学ぶ標準偏差

ケース3：データのばらつきを比較する

2つのECサイトを運営しています。

どちらのサイトの注文件数が、 日によってより安定的か を評価したい…

これは、標準偏差の最も基本的な使い方です。
標準偏差の大小を直接比較する ことで、データのばらつきを評価できます。

【例題3】 2つのECサイトの比較

過去1ヶ月間の1日あたりの注文件数を集計した結果は以下の通りです。
どちらのサイトの注文件数が、日によってより安定的（ばらつきが小さい）と言えるでしょうか？

	サイトA	サイトB
平均注文件数	200件	220件
標準偏差	15件	40件

解答：標準偏差を比較するだけ

サイトAの標準偏差: 15件
サイトBの標準偏差: 40件

サイトAの標準偏差は、サイトBよりも小さいです。

結論：サイトA の方が、日々の注文件数のばらつきが小さく、より安定的である。

サイトBは平均注文件数こそ多いものの、日による変動が非常に大きいことがわかります。この分析は売上予測や在庫管理に役立ちます。

ここまでのまとめ：具体例から見えたこと

ここまで3つの具体例を見てきました。
これらの例を踏まえ、標準偏差の役割を一般化して定義し直してみましょう。

偏差値の計算
データ発生範囲の予測
データセットの比較

標準偏差は、これら全てを可能にする強力なツールです。

【一般化と定義 1/3】標準偏差とは？

データの 「ばらつき具合」 を表す数値

標準偏差が小さい
- データが平均値の周りに 密集している
- 値が 安定的 である
標準偏差が大きい
- データが平均値から 広範囲に散らばっている
- 値の 変動が大きい

【一般化と定義 2/3】偏差値の公式

集団内での個人の相対的な位置を比較するため、平均が50、標準偏差が10の尺度に変換したものが「偏差値」です。

$$
偏差値 = \frac{個人の得点 - 平均点}{標準偏差} \times 10 + 50
$$

この式により、平均点やデータ数が異なる集団同士でも、 同じ土俵で値を比較 できます。

【一般化と定義 3/3】正規分布の「68-95-99.7ルール」

データが正規分布に従う場合、標準偏差を用いてデータが発生する確率を予測できます。

平均 ± 1標準偏差 の範囲に、約 68.3% が含まれる
平均 ± 2標準偏差 の範囲に、約 95.4% が含まれる
平均 ± 3標準偏差 の範囲に、約 99.7% が含まれる