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@Mrs_P

2つのグループの平均値の差を推定する_母平均の差の信頼区間_統計検定2級対策

Posted at

以下の統計検定2級対策動画で用いられているスライドの一部です。

このテーマが重要な理由

ビジネスや研究の現場では、次のような問いが頻繁に生じます。

「2つのグループの平均値に、本当に意味のある差はあるのか？」

  • A/Bテストで、新旧デザインのクリック率に差はあるか？
  • 2つの製造ラインで作られた製品の品質に差はあるか？

このような問いに統計的な根拠を持って答える手法が 「母平均の差の信頼区間」 の推定です。

このスライドの対象者

  • 標本と母集団、平均、分散といった基本的な統計用語を理解している方
  • 正規分布とt分布の基本的な特性について知識がある方
  • 2つのグループ間の差を統計的に評価したいと考えている方

母平均の差の信頼区間とは？

2つの独立した母集団から抽出した標本に基づき、 母平均の差 $\mu_1 - \mu_2$ が含まれると統計的に期待される 範囲 のことです。

例えば、「95%信頼区間」を算出した場合、その区間内に 真の母平均の差 が含まれると95%の確からしさで期待できます。

信頼区間から何がわかるか？

信頼区間を求めることで、主に2つの点を評価できます。

  1. 差の大きさ

    • 2つの母平均の差が、どの程度の範囲にあると推定されるか。

  2. 差の有無（これが最重要）

    • 信頼区間が 0 を含むかどうかが、判断の鍵となります。

信頼区間の解釈：可視化イメージ

  • 差があるとは言えない場合

    • 信頼区間が 0 をまたぐ。
    • これは、母平均の差が 0 である可能性を否定できないことを意味します。

    image.png

  • 差があると言える場合

    • 信頼区間が 0 をまたがない。
    • これは、母平均に統計的に意味のある差が存在することを示唆します。

    image.png

信頼区間の解釈：可視化イメージ

image.png

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

plt.rcParams['font.family'] = 'sans-serif'
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['DejaVu Sans']

fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(2, 1, figsize=(8, 5), sharex=True)

# Case: Not Significant (Includes zero)
ax1.errorbar(0.2, 0, xerr=0.5, fmt='o', capsize=5, color='royalblue', markersize=8)
ax1.axvline(0, color='red', linestyle='--')
ax1.set_yticks([])
ax1.set_title('Including Zero (No Significant Difference)')
ax1.text(0.2, 0.1, 'e.g., CI: [-0.3, 0.7]', ha='center', va='bottom')

# Case: Significant (Does not include zero)
ax2.errorbar(0.5, 0, xerr=0.3, fmt='o', capsize=5, color='royalblue', markersize=8)
ax2.axvline(0, color='red', linestyle='--')
ax2.set_yticks([])
ax2.set_xlabel('Difference in Means (mu1 - mu2)')
ax2.set_title('Not Including Zero (Significant Difference)')
ax2.text(0.5, 0.1, 'e.g., CI: [0.2, 0.8]', ha='center', va='bottom')

plt.tight_layout()
plt.show()

算出方法の3つのケース

信頼区間の算出方法は、母集団の分散に関する情報によって、主に3つのケースに分類されます。

  1. 母分散が 既知 の場合

    • 標準正規分布 を使用

  2. 母分散が 未知だが等しい と仮定できる場合

    • t分布 を使用

  3. 母分散が 未知で等しいと仮定できない 場合

    • t分布 を使用（ Welchの方法 ）

Case 1: 母分散が既知の場合

Case 1: 具体例

ある製薬会社が2種類の睡眠導入剤（A薬, B薬）の効果を比較しています。過去のデータから母分散は分かっています。

  • A薬
    • 標本サイズ $n_1=100$
    • 標本平均 $\bar{x}_1=2.5$ 時間
    • 母分散 $\sigma_1^2=1.21$
  • B薬
    • 標本サイズ $n_2=120$
    • 標本平均 $\bar{x}_2=2.1$ 時間
    • 母分散 $\sigma_2^2=1.44$

課題: 母平均の差 $\mu_1 - \mu_2$ に対する 95%信頼区間 を求める。

Case 1: 計算手順

  1. 標本平均の差
    • $\bar{x}_1 - \bar{x}_2 = 2.5 - 2.1 = 0.4$
  2. 標準誤差の計算
    • $\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}} = \sqrt{\frac{1.21}{100} + \frac{1.44}{120}} \approx 0.1552$
  3. 信頼区間の算出
    • 95%信頼区間の場合、z値は1.96
    • $0.4 \pm 1.96 \times 0.1552$

計算すると、信頼区間は [0.0958, 0.7042] となります。

Case 1: 結果の解釈

算出された95%信頼区間は [0.0958, 0.7042] です。

  • この区間は 0 を含んでいません。
  • したがって、A薬の睡眠時間延長効果は、B薬よりも 統計的に有意に大きい と結論付けられます。

image.png

import matplotlib.pyplot as plt

plt.rcParams['font.family'] = 'sans-serif'
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['DejaVu Sans']

fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 3))
ax.errorbar(0.4, 0, xerr=(0.7042 - 0.0958)/2, fmt='o', capsize=5, color='royalblue', markersize=8)
ax.axvline(0, color='red', linestyle='--')
ax.set_yticks([])
ax.set_xlabel('Difference in Means (Drug A - Drug B)')
ax.set_title('Case 1: 95% Confidence Interval')
ax.grid(axis='x', linestyle='--', alpha=0.6)
plt.tight_layout()
plt.show()

Case 1: 一般化と公式

前提条件

  • 2つの母集団はそれぞれ正規分布に従う。
  • 2つの母分散 $\sigma_1^2$ と $\sigma_2^2$ の値が分かっている。

補足: この例のようにサンプルサイズが十分に大きい場合（目安: 各30以上）、中心極限定理により、たとえ母集団が厳密な正規分布でなくても、この方法は近似的に有効となります。

信頼区間の公式

信頼係数を $1-\alpha$ とすると、母平均の差の信頼区間は以下の式で計算されます。

$$
(\bar{x}_1 - \bar{x}2) \pm z{\alpha/2} \sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}
$$

  • $z_{\alpha/2}$ は標準正規分布の上側 $\alpha/2$ パーセント点です。

Case 2: 母分散が未知だが等しいと仮定できる場合

Case 2: 具体例

ある食品メーカーが2つのレシピ（X, Y）で作ったクッキーの糖度を比較しています。母分散は不明ですが、等しいと仮定します。また、母集団（各レシピの糖度）は正規分布に従うとします。

  • レシピX
    • $n_1=10$, $\bar{x}_1=15.2$, $s_1^2=1.8$
  • レシピY
    • $n_2=12$, $\bar{x}_2=14.1$, $s_2^2=2.1$

課題: 糖度の母平均の差 $\mu_1 - \mu_2$ に対する 95%信頼区間 を求める。

Case 2: 計算手順

母分散が未知のため、 プールされた分散 $s^2$ を計算し、 t分布 を用います。

  1. プールされた分散 $s^2$ の計算
    • $s^2 = \frac{(10-1) \times 1.8 + (12-1) \times 2.1}{10+12-2} = 1.965$
  2. 自由度とt値の確認
    • 自由度 $df = 10+12-2=20$
    • 自由度20の95%信頼区間のt値は $t_{0.025}(20) = 2.086$
  3. 信頼区間の算出
    • $(15.2 - 14.1) \pm 2.086 \sqrt{1.965(\frac{1}{10} + \frac{1}{12})}$

計算すると、信頼区間は [-0.152, 2.352] となります。

Case 2: 結果の解釈

算出された95%信頼区間は [-0.152, 2.352] です。

  • この区間は 0 をまたいでいます。
  • したがって、このデータからは、2つのレシピの糖度に 統計的に有意な差があるとは言えません 。

image.png

import matplotlib.pyplot as plt

plt.rcParams['font.family'] = 'sans-serif'
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['DejaVu Sans']

fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 3))
ax.errorbar(1.1, 0, xerr=(2.352 - (-0.152))/2, fmt='o', capsize=5, color='royalblue', markersize=8)
ax.axvline(0, color='red', linestyle='--')
ax.set_yticks([])
ax.set_xlabel('Difference in Means (Recipe X - Recipe Y)')
ax.set_title('Case 2: 95% Confidence Interval')
ax.grid(axis='x', linestyle='--', alpha=0.6)
plt.tight_layout()
plt.show()

Case 2: 一般化と公式

前提条件

  • 2つの母集団はそれぞれ正規分布に従う。
  • 2つの母分散は未知だが、等しいと仮定できる。

信頼区間の公式

まず、プールされた分散 $s^2$ を計算します。
$$
s^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}
$$
この $s^2$ を使い、信頼区間を求めます。
$$
(\bar{x}_1 - \bar{x}2) \pm t{\alpha/2}(n_1+n_2-2) \sqrt{s^2(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2})}
$$

注: 今回の例のようにサンプルサイズが小さい場合、「母集団が正規分布に従う」という前提が特に重要になります。

Case 3: 母分散が未知で等しいと仮定できない場合

(Welchの方法)

Case 3: 具体例

新型エンジンと旧型エンジンの燃費性能を比較します。母分散は未知で、等しいという保証もありません。また、それぞれのエンジンの燃費の分布は正規分布に従うとします。

  • 新型エンジン
    • $n_1=18$, $\bar{x}_1=22.5$ km/L, $s_1^2=2.5$
  • 旧型エンジン
    • $n_2=15$, $\bar{x}_2=20.8$ km/L, $s_2^2=4.8$

課題: 燃費の母平均の差 $\mu_1 - \mu_2$ に対する 99%信頼区間 を求める。

Case 3: 計算手順

Welchの方法 では、特別な式で自由度 $\nu$ を計算します。

  1. 自由度 $\nu$ の計算 (Welch-Satterthwaiteの式)
    image.png

    • 上記の複雑な計算の結果、$\nu \approx 24.95$ となります。
    • ここでは切り捨てて、自由度を 24 として扱います。

  2. t値の確認

    • 自由度24の99%信頼区間のt値は $t_{0.005}(24) = 2.797$

  3. 信頼区間の算出

    • $(22.5 - 20.8) \pm 2.797 \sqrt{\frac{2.5}{18} + \frac{4.8}{15}}$

計算すると、信頼区間は [-0.1947, 3.5947] となります。

Case 3: 計算手順

Welchの方法 では、特別な式で自由度 $\nu$ を計算します。

  1. 自由度 $\nu$ の計算 (Welch-Satterthwaiteの式)

    • 以下の式に値を代入して計算します。
      $$
      \nu = \frac{(\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2})^2}{\frac{(\frac{s_1^2}{n_1})^2}{n_1-1} + \frac{(\frac{s_2^2}{n_2})^2}{n_2-1}}
      $$
    • 計算すると、$\nu\approx 24.95$ となります。ここでは計算結果を切り捨て、自由度を 24 として扱います。

  2. t値の確認

    • 自由度24の99%信頼区間のt値は $t_{0.005}(24) = 2.797$

  3. 信頼区間の算出

    • $(22.5 - 20.8) \pm 2.797 \sqrt{\frac{2.5}{18} + \frac{4.8}{15}}$

計算すると、信頼区間は [-0.1947, 3.5947] となります。

Case 3: 結果の解釈

算出された99%信頼区間は [-0.1947, 3.5947] です。

  • この区間は 0 をまたいでいます。
  • したがって、信頼係数99%という厳しい基準では、両エンジンの燃費に 統計的に有意な差があるとは断定できません 。

image.png

import matplotlib.pyplot as plt

plt.rcParams['font.family'] = 'sans-serif'
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['DejaVu Sans']

fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 3))
ax.errorbar(1.7, 0, xerr=(3.5947 - (-0.1947))/2, fmt='o', capsize=5, color='royalblue', markersize=8)
ax.axvline(0, color='red', linestyle='--')
ax.set_yticks([])
ax.set_xlabel('Difference in Means (New - Old)')
ax.set_title('Case 3: 99% Confidence Interval (Welch\'s method)')
ax.grid(axis='x', linestyle='--', alpha=0.6)
plt.tight_layout()
plt.show()

Case 3: 一般化と公式

前提条件

  • 2つの母集団はそれぞれ正規分布に従う。
  • 2つの母分散は未知であり、等しいと仮定することもできない。

信頼区間の公式

まず、自由度 $\nu$ を計算します。
$$
\nu = \frac{(\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2})^2}{\frac{(\frac{s_1^2}{n_1})^2}{n_1-1} + \frac{(\frac{s_2^2}{n_2})^2}{n_2-1}}
$$
この $\nu$ を用いて、信頼区間を求めます。
$$
(\bar{x}_1 - \bar{x}2) \pm t{\alpha/2}(\nu) \sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}
$$

まとめ

母平均の差の信頼区間を求める3つのケースを解説しました。

ケース 母分散 使用する分布 主な特徴
Case 1 既知 標準正規分布 (Z分布) 理論の基礎
Case 2 未知だが等分散を仮定 t分布 プールされた分散 $s^2$ を使用
Case 3 未知で不等分散を仮定 t分布 (Welchの方法) 特殊な式で自由度を計算

どの手法を選択するかは、データが持つ前提条件によって決まります。信頼区間を正しく活用し、データに基づいた意思決定を行いましょう。

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