複数の総和（シグマ）を抽象化して1つにまとめる方法
〜「りんごとバナナの売上データ」から学ぶ数式の一般化〜
背景
たとえば、以下のような売上データがあるとする：
- りんごの売上（2日分）：
x₁ = 100,x₂ = 150 - バナナの売上（3日分）：
y₁ = 80,y₂ = 90,y₃ = 110
これらを合計する式はこうなる：
∑_{i=1}^{2} x_i + ∑_{j=1}^{3} y_j
直感的な例え：りんごとバナナを数える
この式は、次のような状況に置き換えられる：
「りんご2個とバナナ3本を数える」
→ 「果物の種類dごとに、個数kを数える」
このとき、d = 1 をりんご、d = 2 をバナナとすれば、
「果物の種類ごとに、個数を数える」という形で統一的に表現できる。
抽象化の目的
このように「種類ごとに長さが異なる複数の和」を、ひとつの統一的な構造で表現したいときがある。
そのために、以下のような抽象化を行う：
∑_{d ∈ {1, 2}} ∑_{k ∈ I_d} z_k^{(d)}
各記号の意味と具体例
| 記号 | 意味 | 具体例（売上データ） |
|---|---|---|
d |
データの種類（グループ番号） |
d = 1 → りんごd = 2 → バナナ |
I_d |
グループ d に属する日数の集合 |
I₁ = {1, 2}（りんご2日分）I₂ = {1, 2, 3}（バナナ3日分） |
z_k^{(d)} |
グループ d の k 日目の売上 |
z_1^{(1)} = x_1 = 100z_2^{(1)} = x_2 = 150z_1^{(2)} = y_1 = 80z_2^{(2)} = y_2 = 90z_3^{(2)} = y_3 = 110
|
x_i, y_j
|
元の変数（売上データ） |
x_i：りんごの売上y_j：バナナの売上 |
例：売上の合計を求める
元の式：
∑_{i=1}^{2} x_i + ∑_{j=1}^{3} y_j = 100 + 150 + 80 + 90 + 110 = 530
抽象化後の式：
∑_{d ∈ {1, 2}} ∑_{k ∈ I_d} z_k^{(d)} = 530
メリット
- 和の構造を統一できる
- データの種類が増えても同じ構文で処理できる
- プログラムや数式処理で汎用的に扱える
- データ構造の抽象化に役立つ
まとめ
複数の和を抽象化して1つの式にまとめることで、数式の再利用性や可読性が向上する。
「りんごとバナナの売上を合計する」という具体例と、「果物の種類ごとに個数を数える」という直感的な例えを使えば、抽象的な数式も自然に理解できる。