初めに

LaTeXの練習もかねて、3次方程式の解の公式を証明してみた。

$ax^3+bx^2+cx+d = 0$を$X^3+pX+q=0$に変形したい。

$x = X-\frac{b}{3a}$とおく
$a(X-\frac{b}{3a})^3+b(X-\frac{b}{3a})^2+c(X-\frac{b}{3a})+d=0$
$a(X^3-\frac{b}{a}X^2+\frac{b^2}{3a^2}X-\frac{b^3}{27a^3})+b(X^2-\frac{2b}{3a}X+\frac{b^2}{9a^2})+c(X-\frac{b}{3a})+d=0$
$aX^3+\frac{-b^2+3ac}{3a}X+\frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^2}=0$
よって$p=\frac{-b^2+3ac}{3a^2},q=\frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3}$

$X^3+pX+q=0$を因数分解する

$X^3+y^3+z^3-3Xyz=(X+y+z)(X^2+y^2+z^2-Xy-yz-zX)$
$\omega^3=1,\omega^2+\omega=-1(\omegaは1の3乗根)$より、
$(X+\omega y+\omega^2z)(X+\omega^2y+\omega z)$
$=X^2+y^2+z^2-Xy-yz-zX$
よって$X^3+y^3+z^3-3Xyz=(X+y+z)(X+\omega y+ \omega^2z)
(X+\omega^2y+\omega z)$

この因数分解より

\begin{cases}-3yz=p \\
 y^3 + z^3 = q \end{cases}\tag 1

を満たす$y,z$を$p,q$で表すことができれば
$X の方程式X^3+px+q=0$の解を$p,q$で表すことができる。
(1) より

\begin{cases}y^3z^3=-\frac{p^3}{27}\\
y^3+z^3=q\end{cases}

2次方程式の解と係数の関係より、y^3,z^3を解に持つ2次方程式の解の1つは

2次方程式$x^2+ax+b=0$の解を $\alpha,\beta$とする$\alpha+\beta=-a,\alpha\beta=b$

$t^2-qt-\frac{p^3}{27}=0$
$t=\frac{3 \sqrt{3}\pm\sqrt{27q^2+4p^3}}{6\sqrt{3}}$
$y,z$は対象なので
$y=\sqrt{\frac{3\sqrt{3}q+\sqrt{27q^2+4p^3}}{6\sqrt{3}}}$
$z=\sqrt{\frac{3\sqrt{3}q-\sqrt{27q^2+4p^3}}{6\sqrt{3}}}$

よって $X=-y-z,-y\omega-z\omega^2,-y\omega^2-z\omega$であるので
$x+\frac{b}{3a}=-y-z,-y\omega-z\omega^2,-y\omega^2-z\omega$
$x=-\frac{b}{3a}-y-z,-\frac{b}{3a}-y\omega-z\omega^2,-\frac{b}{3a}-y\omega^2-z\omega$

$x=-\frac{b}{3a}-\sqrt{\frac{3\sqrt{3}q+\sqrt{27q^2+4p^3}}{6\sqrt{3}}}-\sqrt{\frac{3\sqrt{3}q-\sqrt{27q^2+4p^3}}{6\sqrt{3}}},$
$-\frac{b}{3a}-\sqrt{\frac{3\sqrt{3}q+\sqrt{27q^2+4p^3}}{6\sqrt{3}}}\omega-\sqrt{\frac{3\sqrt{3}q-\sqrt{27q^2+4p^3}}{6\sqrt{3}}}\omega^2,$
$-\frac{b}{3a}-\sqrt{\frac{3\sqrt{3}q+\sqrt{27q^2+4p^3}}{6\sqrt{3}}}\omega^2-\sqrt{\frac{3\sqrt{3}q-\sqrt{27q^2+4p^3}}{6\sqrt{3}}}\omega$

これで3次方程式の解の公式が導出できた

終わりに

LaTex初めて書いた
改行わからない
~Thank you for reading~