結論

ユーザー登録後(ここ重要)lambdaで強制的に権限を変更する
つまり、登録からログインする前に何かしらでlambdaを起動させる必要がある

サインアップフォーム

signin.tsx

import React, { useState } from 'react';
import { CognitoUserAttribute, CognitoUserPool } from 'amazon-cognito-identity-js';
import { poolData } from '../../../../lib/cognito';


export const SignUp = () => {
  const router = useRouter()
  const [state, setState] = useState({
    password: '',
    email: '',
    error: ''
  });

  const handleChange = (event) => {
    setState({
      ...state,
      [event.target.name]: event.target.value
    });
  };

  const handleSubmit = (event) => {
    event.preventDefault();
    const { password, email } = state;

    const attributeList = [
      new CognitoUserAttribute({ Name: 'email', Value: email }),

    ];

    poolData.signUp(email, password, attributeList, null, (err, result) => {
      if (err) {
        setState({ ...state, error: err.message });
        return;
      }
      alert('登録完了しました。メールアドレスを確認してください。');
    });
  };

  const authexe = async () => {
    // fetchでapiの実行
    const url = `url`;
    let method = "POST";
    let headers = {
      "Content-Type": "application/json",
    };
    const body = JSON.stringify({ userName: state.email })
    // urlに対してPOSTリクエストを送る
    await fetch(url, { method, headers, body })
      .then((response) => {
        alert(JSON.stringify(response));
        return response;
      })

  }

  return (
    <form onSubmit={handleSubmit} className={style.signupForm}>
      <h1>Sign Up</h1>
      {state.error && <p style={{ color: 'red' }}>{state.error}</p>}

    <input
          type="text"
          name="email"
          value={state.email}
          placeholder="メールアドレス"
          onChange={handleChange}
          required={true}
        />

    <input
          type="password"
          name="password"
          value={state.password}
          placeholder="パスワード"
          onChange={handleChange}
          required={true}
        />

    <div onClick={onClick}> Sign Up </div>
    <div onClick={authexe}> 認証ボタン </div>
    </form>
  );
};

lambdaの認証強制書き換えコード

lambda

import json
import boto3

def lambda_handler(event, context):
    client = boto3.client('cognito-idp')
    user_pool_id = "自分のユーザープールID"
    user_name = event['userName']

    # ユーザー属性を更新して確認済みに設定
    client.admin_update_user_attributes(
        UserPoolId=user_pool_id,
        Username=user_name,
        UserAttributes=[
            {
                'Name': 'email_verified',
                'Value': 'true'
            },
        ]
    )

    # ユーザーの認証ステータスを更新
    client.admin_confirm_sign_up(
        UserPoolId=user_pool_id,
        Username=user_name
    )
    return {
        'statusCode': 200,
        'body': json.dumps('Hello from Lambda!')
    }

詰まってたところ

PreSignUp_SignUpを利用してこのコードを実行すると「ユーザーが見つからないよ！」というエラーが出ました。
これ、実行タイミング的にユーザー追加する前に実行されるみたいなので、ここでは実行できないみたいですね