こちらの数学教材馬同学-線形代数で一通りで勉強して、紙ノートにもメモをしたが、一か月過ぎたら、何だか記憶や理解が薄くなってきていると気づきました。
Haste makes wasteなので、教材から内容の書き写すではなく、自分の理解を整理することで、数学の知識を深めたいと思います。
なぜ線形代数が必要なのか
宇宙での問題が複雑し過ぎで、現在人類が解明したのがほんの一部だけです。多くの問題が理解すらできず、数学で表現、解決することがそもそも不可能です。
これら問題でほんの一部しか理解・解決できます。この解決できる問題の中で、大部分は線形問題、また線形問題へ変換できる問題です。
線形代数は線形問題を解けるためのツールです。他のツール例えば微分積分は、複雑問題を線形問題へ変換するツールです。
複雑な世界
以下の図はPCハードウェアでの風の運動図です。各種機器の存在や気流の相互作用のため、風の運動は非常に複雑になります。ある時点や場所での風の強さや方向を計算する必要がある場合、その難しさが想像できます。
シンプルな線形問題
複雑な世界の問題と比べて、線形問題は非常にシンプルです。簡単な線形問題の対象は、点、線、平面、そして立体といった単純な対象です。
例えば、2本の線の交差点を解けるなら、以下のように方程式を組んで解くことができます。
\begin{equation}
\left \{
\begin{array}{l}
a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} ＝ b_{1}(線1) \\
a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} ＝ b_{2}(線2)
\end{array}
\right.
\end{equation}
複雑な問題を線形化
ある複雑な問題では、通常通りの方法では解決できず、発想を転換して問題を簡単に理解できるようにする(複雑な問題を線形化)必要があります。
例えば、物体が変動な力の影響を受けて曲線運動をする場合、力の大きさや方向が変化するため、位置の計算に線形方程式を使用することはできません。その場合、「曲線に直線をフィットさせる(以曲代直)」方法を採用し、曲線を多数の小さな線分に分割し、各小線分を一定方向の直線移動で近似し、最終的にすべての小線分の移動ベクトルを加算して総移動量を得ることができます。
顔認識での線形代数
顔認識を例で線形代数の用途を簡単に説明します。顔での特徴子を算出して、三つの数字で表すことが可能です。
例えば、上の図の男性の特徴子が(150,30,20)、この男性の他の写真をいっぱい集まって、全ての特徴子(123,35,20),(110,32,26)...を算出して、これら点は全ての右の立体での面に所属しています。(線形化)
新しい顔(下の図の女性)が、この男性顔かどうかを判断するために、新しい顔の特徴子を算出して、平面での点かどうかの判断になります。
平面は行列式で表すことができるので、この新しい顔の特徴子(A,B,C)と行列式の関係問題へ変換することで、顔認識を線形代数学の計算に変わります。
まとめ
これから学ぶ線形代数は、線形問題を解くツールになります。複雑な問題を線形問題に変換するのは、別の数学学科になります。(例:微分積分、確率統計学)
参考情報
- Markdownでの数学式の書き方
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| 1 | これで完璧 Qiitaでの数式記法 |
| 2 | Qiitaの数式チートシート |
| 3 | Qiitaでの様々な数式の書き方 |