本記事は数学講座2.5一般的な関数の極限を勉強して投稿したメモです。詳細は元の素晴らしい講座のページをチェックしてください。

まとめ

ここまでに、三つの極限を勉強しました。

数列の極限
無限大になる関数の極限
一般的な関数極限

一般的な関数極限

定義：

関数 $f(x) が \mathring{U}(x_0) $上で定義されているとします。もし、$\forall \epsilon > 0 、\exists \delta > 0 、\forall x\in\mathring{U}(x_0,\delta) $に対して以下が成り立つ場合：

|f(x) - L| < \epsilon

そのとき、$L$を関数$ f(x) の x が x_0 $に近づくときの極限と呼びます。また、$x が x_0 $に近づくとき関数$ f(x) が L$ に収束するとも言い、以下のように表します：

\lim_{x\to x_0}f(x)=L\quad \text{または}\quad f(x)\to L(x\to x_0)

もし、このような定数$ L $が存在しない場合、関数 $f(x) が x が x_0 $に近づくとき 極限を持たないと言い、または関数$ f(x) $が発散すると言います。また、$\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x) $が存在しないとも言います。

これも数列の極限、無限大になる関数と同じような定義です。

同じところ：まず極限$L$を推測してから検証
違いところは：$x$の定義範囲


\begin{array}{c|c|c}
    \hline
    \quad \text{数列の極限}\quad&\quad \text{無限大関数極限}\quad&\quad \text{一般的な関数極限}\quad \\
    \hline \\
    \text{数列}\ \{a_n\} &\quad\ |x|\ \text{> 某正数時}\quad&\ \mathring{U}(x_0)\ \quad\\\
    \exists N\in\mathbb{Z}^{+} & \exists X > 0 & \exists \delta > 0\\
    \forall n > N & \forall |x| > X & \forall x\in\mathring{U}(x_0,\delta)\\
    \\
    \hline
\end{array}

一般的な関数極限の例

左極限と右極限

左極限と右極限の定義は上の一般的な関数極限とほぼ同じで、違いところは$x$の範囲です。


\begin{array}{c|c|c}
    \hline
    \quad \text{一般的な関数極限}\quad&\quad \text{左極限}\quad&\quad \text{右極限}\quad \\
    \hline \\
    \ \mathring{U}(x_0)\quad&\quad \ (a,x_0)\ \quad&\quad \ (x_0,b)\ \quad\\\
    \forall x\in\mathring{U}(x_0,\delta) & \forall x\in(x_0-\delta,x_0) & \forall x\in(x_0,x_0+\delta)\\
    \\
    \hline
\end{array}

一般的な関数極限存在の充分必要な条件

これも無限大になる関数のと同じで、一般的な関数極限存在の条件が、左極限及び右極限も存在され、且つ等しいです。

\lim_{x\to x_0^-}f(x)=\lim_{x\to x_0^+}f(x)=L\iff\lim_{x\to x_0}f(x)=L

補足

参照