本記事は数学講座2.5一般的な関数の極限を勉強して投稿したメモです。詳細は元の素晴らしい講座のページをチェックしてください。
まとめ
ここまでに、三つの極限を勉強しました。
- 数列の極限
- 無限大になる関数の極限
- 一般的な関数極限
一般的な関数極限
定義：
関数 $f(x) が \mathring{U}(x_0) $上で定義されているとします。もし、$\forall \epsilon > 0 、\exists \delta > 0 、\forall x\in\mathring{U}(x_0,\delta) $に対して以下が成り立つ場合：
|f(x) - L| < \epsilon
そのとき、$L$を関数$ f(x) の x が x_0 $に近づくときの極限と呼びます。また、$x が x_0 $に近づくとき関数$ f(x) が L$ に 収束 するとも言い、以下のように表します：
\lim_{x\to x_0}f(x)=L\quad \text{または}\quad f(x)\to L(x\to x_0)
もし、このような定数$ L $が存在しない場合、関数 $f(x) が x が x_0 $に近づくとき 極限 を持たないと言い、または関数$ f(x) $が 発散 すると言います。また、$\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x) $が存在しないとも言います。
これも数列の極限、無限大になる関数と同じような定義です。
- 同じところ：まず極限$L$を推測してから検証
- 違いところは：$x$の定義範囲
\begin{array}{c|c|c}
\hline
\quad \text{数列の極限}\quad&\quad \text{無限大関数極限}\quad&\quad \text{一般的な関数極限}\quad \\
\hline \\
\text{数列}\ \{a_n\} &\quad\ |x|\ \text{> 某正数時}\quad&\ \mathring{U}(x_0)\ \quad\\\
\exists N\in\mathbb{Z}^{+} & \exists X > 0 & \exists \delta > 0\\
\forall n > N & \forall |x| > X & \forall x\in\mathring{U}(x_0,\delta)\\
\\
\hline
\end{array}
一般的な関数極限の例
左極限と右極限
左極限と右極限の定義は上の一般的な関数極限とほぼ同じで、違いところは$x$の範囲です。
\begin{array}{c|c|c}
\hline
\quad \text{一般的な関数極限}\quad&\quad \text{左極限}\quad&\quad \text{右極限}\quad \\
\hline \\
\ \mathring{U}(x_0)\quad&\quad \ (a,x_0)\ \quad&\quad \ (x_0,b)\ \quad\\\
\forall x\in\mathring{U}(x_0,\delta) & \forall x\in(x_0-\delta,x_0) & \forall x\in(x_0,x_0+\delta)\\
\\
\hline
\end{array}
一般的な関数極限存在の充分必要な条件
これも無限大になる関数のと同じで、一般的な関数極限存在の条件が、左極限及び右極限も存在され、且つ等しいです。
\lim_{x\to x_0^-}f(x)=\lim_{x\to x_0^+}f(x)=L\iff\lim_{x\to x_0}f(x)=L
補足
参照