本記事は数学講座3.5 行列積の幾何学的意義を勉強して投稿したメモです。詳細は元の素晴らしい講座のページをチェックしてください。
行列の左乗
$\boldsymbol{A}\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}$：
\underbrace{\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}}_{\large\boldsymbol{A}}\underbrace{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}_{\large\boldsymbol{a}}=\underbrace{\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}}_{\large\boldsymbol{b}}
$aとb$がベクトル空間$\mathbb{R}^2$での列ベクトルです。自然基底での図は以下の通りです。
\boldsymbol{e_1}=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\boldsymbol{e_2}=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}
$a$が自然基底の$R^2$のベクトル、$b$が$a$を新しい基底の$R^2$のベクトルです。(自然基底の$R^2$にとって、場所が変っていますので、$b$での値も変わります。でも、$b$の相対位置が変わっていません。)
ベクトル$b$が行列$A$(ベクトル空間)の列ベクトル組 { $c_1,c_2$ } の線形結合です。
行列の乗法
$\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}$：
\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}1&-1\\1&-1\end{pmatrix}
$B$の列ベクトルが以下のように二つ：
\boldsymbol{b_1}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{b_2}=\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}
$\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}$が以下のようになります：
\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}\begin{pmatrix}\boldsymbol{b}_1&\boldsymbol{b}_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\boldsymbol{A}\boldsymbol{b}_1&\boldsymbol{A}\boldsymbol{b}_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\2&-2\end{pmatrix}
以下のように、二つに分解できます。
\underbrace{\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}}_{\large\boldsymbol{A}}\underbrace{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}_{\large\boldsymbol{b_1}}=\underbrace{\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}}_{\large\boldsymbol{b_1^{'}}}
と
\underbrace{\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}}_{\large\boldsymbol{A}}\underbrace{\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}}_{\large\boldsymbol{b_2}}=\underbrace{\begin{pmatrix}0\\-2\end{pmatrix}}_{\large\boldsymbol{b_2^{'}}}
$b_1,b_2$がそれぞれ新しい基底の$R^2$ベクトル空間の位置の座標(自然基底のベクトル空間内の)になります。
ベクトル$b_1$、$b_2$が行列$A$(ベクトル空間)の列ベクトル組 { $c_1,c_2$ } の線形結合です。