概要
正規分布 $Z \sim N(0,1)$ を使って確率を求められるようにするために、
平均 $\mu$、標準偏差 $\sigma$ を持つ正規分布の変数 $V$ を
$$
W = \frac{V - \mu}{\sigma}
$$
と変換する操作を 標準化 といいます。
これで
$$
W \sim N(0,1) \quad （標準正規分布）
$$
になります。
👉 標準化することで、複雑な正規分布の確率も 標準正規分布表や計算機能 を使って簡単に処理できるようになります。
例題1：和 X+Y の確率
設定
$$
X \sim N(100, 2^2), \quad Y \sim N(150, 3^2) \quad （独立）
$$
を考える。このとき、$P(X+Y > 250)$ を求めよ。
解き方
-
平均と分散
$$
E[X+Y] = 100+150 = 250
$$$$
\text{Var}(X+Y) = 2^2 + 3^2 = 13
$$よって
$$
X+Y \sim N(250, 13)
$$ -
標準化
$$
P(X+Y > 250) = P\left(\frac{X+Y - 250}{\sqrt{13}} > 0\right)
$$標準正規分布より $P(Z>0) = 0.5$
答え
$$
P(X+Y > 250) = 0.5
$$
例題2：差 X-Y の確率
設定
$$
X \sim N(70, 10^2), \quad Y \sim N(65, 8^2) \quad （独立）
$$
このとき、$P(X-Y \geq 10)$ を求めよ。
解き方
-
平均と分散
$$
E[X-Y] = 70 - 65 = 5
$$$$
\text{Var}(X-Y) = 10^2 + 8^2 = 164
$$よって
$$
X-Y \sim N(5, 164)
$$ -
標準化
$$
P(X-Y \geq 10) = P\left(\frac{X-Y - 5}{\sqrt{164}} \geq \frac{10-5}{\sqrt{164}}\right)
$$$$
= P(Z \geq 0.39) \approx 0.348
$$
答え
$$
P(X-Y \geq 10) \approx 0.35
$$
例題3：線形結合 2X - Y の分布
設定
$$
X \sim N(1000, 100^2), \quad Y \sim N(800, 80^2) \quad （独立）
$$
このとき、$P(2X - Y > 1200)$ を求めよ。
解き方
-
平均と分散
$$
E[2X - Y] = 2 \cdot 1000 - 800 = 1200
$$$$
\text{Var}(2X - Y) = 2^2 \cdot 100^2 + 1^2 \cdot 80^2 = 40000 + 6400 = 46400
$$よって
$$
2X - Y \sim N(1200, 46400)
$$ -
標準化
$$
P(2X - Y > 1200) = P\left(\frac{2X - Y - 1200}{\sqrt{46400}} > 0\right) = 0.5
$$
答え
$$
P(2X - Y > 1200) = 0.5
$$
まとめ
-
期待値の性質
$$
E[aX + bY] = aE[X] + bE[Y]
$$ -
分散の性質（独立の場合）
$$
\text{Var}(aX + bY) = a^2 \text{Var}(X) + b^2 \text{Var}(Y)
$$ -
正規分布の和・差・線形結合は再び正規分布になる。
-
標準化を使うことで、任意の正規分布の確率を 標準正規分布 $N(0,1)$ に落とし込んで計算できる。