概要
期待値と分散は、確率変数の「平均的な値」や「ばらつき」を表す基本的な指標です。
特に 複数の確率変数を扱うとき、和・差・積に関する性質を理解することは統計学やデータ解析において重要です。
- 期待値 は線形性を持ち、和や差に対して分かりやすく分解できる。
- 分散 は一般には線形でないが、独立性の仮定を置くと簡潔な形になる。
- 共分散 を導入することで、複数変数の関係性を数式で表現できる。
これらを整理すると、統計的推測やリスク管理（分散分析・ポートフォリオ理論など）の基礎が理解しやすくなります。
数式
期待値の性質
確率変数 $X, Y$、定数 $a, b, c$ に対して：
$$
E[aX + bY + c] = aE[X] + bE[Y] + c
$$
特に：
- 和： $E[X+Y] = E[X] + E[Y]$
- 差： $E[X-Y] = E[X] - E[Y]$
分散の性質
$$
V(X) = E[(X - E[X])^2] = E[X^2] - (E[X])^2
$$
- 定数倍： $V(aX) = a^2 V(X)$
- 定数加算： $V(X+c) = V(X)$
複数変数のとき：
$$
V(X+Y) = V(X) + V(Y) + 2\mathrm{Cov}(X, Y)
$$
$$
V(X-Y) = V(X) + V(Y) - 2\mathrm{Cov}(X, Y)
$$
ここで、共分散は：
$$
\mathrm{Cov}(X, Y) = E[(X-E[X])(Y-E[Y])] = E[XY] - E[X]E[Y]
$$
独立な場合
$X, Y$ が独立なら $\mathrm{Cov}(X,Y)=0$。したがって：
- $E[XY] = E[X]E[Y]$
- $V(X+Y) = V(X)+V(Y)$
- $V(X-Y) = V(X)+V(Y)$
数式の説明
-
期待値の線形性
- 加算や定数倍に対して「きれいに分解できる」性質。
- 独立性に関係なく成り立つ。
-
分散と独立性
- 分散は平方が入るため線形でない。
- しかし、独立なら共分散が 0 となり、和や差の分散が単純に足し算で表せる。
-
積の期待値
- 独立なら $E[XY] = E[X]E[Y]$。
- 非独立なら共分散を通じて調整が必要。
問題例
問題1：和の分散（独立な場合）
サイコロを 2 回振り、出目を $X, Y$ とする。
それぞれの分散は $V(X)=V(Y)=35/12$。
$Z = X+Y$ の分散を求めよ。
解き方
-
サイコロの出目は独立。
-
よって：
$$
V(Z) = V(X+Y) = V(X)+V(Y) = \frac{35}{12} + \frac{35}{12} = \frac{35}{6}
$$
問題2：非独立な場合（共分散あり）
ある株式の利回りを $X, Y$ とする。
$V(X)=4$、$V(Y)=9$、$\mathrm{Cov}(X,Y)=3$。
$Z=X+Y$ の分散を求めよ。
解き方
$$
V(Z) = V(X)+V(Y)+2\mathrm{Cov}(X,Y) = 4 + 9 + 6 = 19
$$
関連する数式
-
期待値の線形性
$$
E[aX+bY+c] = aE[X] + bE[Y] + c
$$ -
和の分散（一般形）
$$
V(X+Y) = V(X) + V(Y) + 2,\mathrm{Cov}(X,Y)
$$ -
独立な場合
$$
V(X+Y) = V(X) + V(Y), \quad E[XY] = E[X]E[Y]
$$