[Statistics] 加法定理、乗法定理 とは

概要

確率論において「加法定理」と「乗法定理」は基本的な計算ルールです。

• 加法定理は「事象の和事象（どちらか一方が起こる確率）」を求めるときに使います。
• 乗法定理は「事象の積事象（両方同時に起こる確率）」を求めるときに使います。

さらに、事象が排反(両立できない) か、独立(互いに影響を与えない) かによって計算式が簡略化されます。

数式

1. 加法定理

   $$
   P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
   $$

2. 乗法定理

   $$
   P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) = P(B) \cdot P(A|B)
   $$

数式の説明

1. 加法定理

   • $P(A \cup B)$：事象 $A$ または $B$ が起こる確率

   • $P(A \cap B)$：両方同時に起こる確率

   • 二重に数えないように、交わりの部分を引く

   • 排反（mutually exclusive）：
     $A$ と $B$ が同時に起こらない場合、

     $$
     P(A \cup B) = P(A) + P(B)
     $$

2. 乗法定理

   • $P(A \cap B)$：事象 $A$ と $B$ が同時に起こる確率

   • $P(B|A)$：事象 $A$ が起こったときに $B$ が起こる条件付き確率

   • 独立（independent）：
     $A$ と $B$ が互いに影響しない場合、

     $$
     P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)
     $$

具体例

例1：サイコロ（加法定理）

• 事象 $A$：偶数が出る（2, 4, 6） → $P(A) = \frac{3}{6} = 0.5$
• 事象 $B$：3の倍数が出る（3, 6） → $P(B) = \frac{2}{6} \approx 0.333$
• 共通部分 $A \cap B$：6 → $P(A \cap B) = \frac{1}{6} \approx 0.167$

したがって、

$$
P(A \cup B) = 0.5 + 0.333 - 0.167 = 0.667
$$

例2：カード（乗法定理）

52枚のトランプから2枚続けて引く。

• 事象 $A$：1枚目がハート
• 事象 $B$：2枚目がハート

計算：

$$
P(A) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}, \quad
P(B|A) = \frac{12}{51}
$$

したがって、

$$
P(A \cap B) = \frac{1}{4} \cdot \frac{12}{51} \approx 0.059
$$

関連する数式

1. 条件付き確率

   $$
   P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \quad (P(A) > 0)
   $$

2. 排反の判定

   $$
   A \text{ と } B \text{ が排反 } \iff P(A \cap B) = 0
   $$

3. 独立の判定

   $$
   A \text{ と } B \text{ が独立 } \iff P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)
   $$

参考リンク

• 統計学の時間 - 9. 確率の加法定理と乗法定理
• 統計WEB - 条件付き確率と独立
• Wikipedia - 加法定理と乗法定理