概要

二項分布（Binomial distribution）は、「成功/失敗」のような二値データ を扱うときに現れる確率分布です。

$n$ 回の独立試行で、それぞれの成功確率が $p$ のとき、成功回数 $X$ が従う分布。
離散型の確率分布であり、確率質量関数（PMF）を持つ。
標本サイズが大きくなると、正規分布で近似できる場合がある。

統計的推測（母比率の推定や検定）の基盤となる重要な分布です。

数式

二項分布 $X \sim Bin(n, p)$ の確率質量関数は：

$$
P(X = k) = nCk ; p^k (1-p)^{n-k}, \quad (k=0,1,2,\dots,n)
$$

（ここで $nCk$ は二項係数で、別表記 $C(n,k)$ と同義です。従来の組合せ記号 $\binom{n}{k}$ と同じ意味です。）

期待値と分散は次のようになります：

$$
E[X] = np, \quad \operatorname{Var}(X) = np(1-p)
$$

さらに、標本比率 $\hat{p} = X/n$ を考えると、その期待値と分散は：

$$
E[\hat{p}] = p, \quad \operatorname{Var}(\hat{p}) = \frac{p(1-p)}{n}
$$

数式の説明

二項係数 $nCk$
$n$ 回の試行のうち $k$ 回成功する組み合わせの数を表します。
数式は

$$
nCk = \frac{n!}{k!(n-k)!}
$$

で表されます。
確率項 $p^k (1-p)^{n-k}$
それぞれの試行が独立であるため、$k$ 回成功し、残りを失敗する確率はこの積で表されます。
二項分布の期待値と分散
成功回数 $X$ の平均は $np$、分散は $np(1-p)$。成功確率が高いほど平均が大きくなり、$p$ が 0.5 に近いと分散も大きくなります。
標本比率の定義と性質
標本比率は

$$
\hat{p} = \frac{X}{n}
$$

で定義され、母比率 $p$ の 不偏推定量 です。

また分散は

$$
Var(\hat{p}) = \frac{p(1-p)}{n}
$$

となり、試行回数が増えるほど推定のばらつきは小さくなります。
近似の考え方
- $n$ が大きく $p$ が小さいとき → ポアソン分布で近似
- $n$ が大きく $np(1-p)$ が十分大きいとき → 正規分布で近似（中心極限定理に基づく）

問題例

問題1：サイコロの出る確率

サイコロを 10 回振ったとき、「1」が出る回数 $X$ は二項分布に従う。
成功確率 $p = \dfrac{1}{6}$、試行回数 $n=10$。
このとき、ちょうど 2 回「1」が出る確率を求めよ。

解き方

分布を確認
$X \sim Bin(10, 1/6)$
公式に代入

$$
P(X=2) = 10C2 \left(\frac{1}{6}\right)^2 \left(\frac{5}{6}\right)^8
$$
組合せを計算

$$
10C2 = \frac{10!}{2!8!} = 45
$$
最終計算

$$
P(X=2) \approx 0.2907
$$

問題2：製品の不良率の検定

ある工場での製品不良率が $p=0.05$ であると仮定。
100 個の製品を抽出したところ、不良品が 8 個見つかった。
この結果は「不良率が 0.05」という仮定と矛盾するといえるか？

解き方

仮定を設定
- 帰無仮説：$p=0.05$
- 分布：$X \sim Bin(100, 0.05)$
期待値と分散を計算

$$
E[X] = 100\times0.05 = 5
$$

$$
Var[X] = 100\times0.05\times0.95 = 4.75
$$

$$
\sigma = \sqrt{4.75} \approx 2.18
$$
観測値の標準化

$$
Z = \frac{8 - 5}{2.18} \approx 1.38
$$
棄却域と比較
両側検定・有意水準 5% の臨界値は $\pm1.96$。
$Z=1.38$ は範囲内 → 棄却できない。
結論
「不良率 0.05」と矛盾するとは言えない（有意差なし）。

問題3：母比率の95%信頼区間（導出付き）

あるアンケートで、2100 人中 16% がある商品を支持すると回答した。
母比率 $p$ の 95% 信頼区間を求めよ。

解き方

標本比率を計算

$$
\hat{p} = 0.16
$$
信頼区間の公式を確認

$$
\hat{p} \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}
$$

（ここで $z_{0.025}\approx1.96$）
標準誤差を計算

$$
SE = \sqrt{\frac{0.16 \times 0.84}{2100}} \approx 0.008000
$$
信頼区間を計算
下限：

$$
0.16 - 1.96\times0.008 = 0.144
$$

上限：

$$
0.16 + 1.96\times0.008 = 0.176
$$
結論

$$
0.144 \le p \le 0.176
$$

なぜこの式になるか（導出の流れ：詳解）

標本比率の定義
標本での成功回数を $X$、試行回数を $n$ とすると、標本比率は
$$
\hat{p}=X/n
$$

と定義される。
標本比率と標本平均は同義
各試行を「成功=1, 失敗=0」とするベルヌーイ変数 $Y_i$ とすると、

$$
\hat{p} = \frac{X}{n} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n Y_i = \overline{Y}
$$

すなわち、標本比率は二値データの標本平均そのものである。
そのため「標本平均を標準化する手順」がそのまま「標本比率の標準化」に使える。
期待値・分散
$$
E[\hat{p}] = p$（不偏）、 $\operatorname{Var}(\hat{p}) = \dfrac{p(1-p)}{n}
$$
中心極限定理（または二項→正規近似）
$n$ が大きければ、標準化された $\hat{p}$ は近似的に標準正規分布に従います：

$$
\frac{\hat{p}-p}{\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}} \overset{approx}{\sim} N(0,1).
$$
両側確率で信頼区間をつくる
95% 信頼区間なので、標準正規の上下 2.5% 点を用いて

$$
P\left(-z_{0.025} \le \frac{\hat{p}-p}{\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}} \le z_{0.025}\right) \approx 0.95.
$$

両側不等式を $p$ について解くと

$$
\hat{p} - z_{0.025}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \le p \le \hat{p} + z_{0.025}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}.
$$
実務上の近似（未知の $p$ を $\hat{p}$ で置換）
右辺・左辺に現れる $\sqrt{p(1-p)}$ は母比率 $p$ に依存して未知です。実務ではその代わりに標本比率 $\hat{p}$ を用いて
$\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}} \approx \sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$
とし、次の近似的な信頼区間式を得ます：

$$
\hat{p} \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}.
$$

これが一般に教科書で示される「正規近似による母比率の信頼区間」の導出です。
注意点（使用条件）
この近似が妥当であるための経験則として、通常は $n\hat{p} \ge 5$ および $n(1-\hat{p}) \ge 5$（またはより厳密には 10）といった条件を満たすことが望ましいです。今回の例では $n\hat{p}=2100\times0.16=336$ および $n(1-\hat{p})=1764$ なので十分大きく、近似は妥当です。

（補足）小さいサンプルや $\hat{p}$ が極端に 0 や 1 に近い場合は、Wilson 区間や正確二項（Clopper–Pearson）区間など、より良い方法を用いることが推奨されます。

参考リンク