Introduction
金融工学と流体力学で用いられる方程式は、利用目的は異なりますが、数理的な構造には類似点があります。
それぞれの分野で用いられる代表的な方程式を例に挙げ、類似性について解説しいます。
代表的な方程式の概要
1. Black-Scholes 方程式（金融工学）
目的：オプション価格の変動を記述する微分方程式
\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + r S \frac{\partial V}{\partial S} - r V = 0
- $V(S, t)$：オプション価格
- $S$：基礎資産（例：株価）
- $\sigma$：ボラティリティ（価格変動率）
- $r$：リスクフリーレート（無リスク金利）
- $\frac{\partial V}{\partial t}$：時間に対する変化
- $\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}$：価格の変動リスクを表す
2. ナビエ–ストークス方程式（流体力学）
目的：粘性流体の運動を記述する非線形偏微分方程式
運動量保存則（単純化した形）：
\rho \left( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} \right) = - \nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{u} + \mathbf{f}
- $\mathbf{u} = (u, v, w)$：流速ベクトル
- $\rho$：密度
- $p$：圧力
- $\mu$：動粘性係数
- $\mathbf{f}$：外力（重力など）
- $\nabla^2 \mathbf{u}$：粘性項（拡散）
- $(\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u}$：対流項（非線形）
数理的な類似性
| 特徴 | Black-Scholes 方程式 | ナビエ–ストークス方程式 |
|---|---|---|
| 未知関数 | オプション価格 $V(S,t)$ | 流速ベクトル $\mathbf{u}(x,t)$ |
| 時間発展項 | $\frac{\partial V}{\partial t}$ （時間による変化） | $\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}$ |
| 拡散項（拡がり） | $\frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2}$ | $\mu \nabla^2 \mathbf{u}$ |
| 流れの影響 | 株価変動の影響 $S \frac{\partial V}{\partial S}$ | 流体の移流項 $(\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u}$ |
| 非線形性 | なし（線形 PDE） | あり（対流項が非線形） |
| 境界条件 | 端点でのオプション価格（ペイオフ関数） | 流れの境界条件（壁面・流入・流出） |
1. 拡散項の類似性
Black-Scholes 方程式では、オプション価格の変動（ボラティリティ）によるリスクが「拡散」する
\frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2}
ナビエ–ストークス方程式では、粘性（拡散効果）が速度場を滑らかにする
\mu \nabla^2 u
2. 時間発展の類似性
- Black-Scholes：時間変化 $\frac{\partial V}{\partial t}$ に対して、オプション価格が決まる
- ナビエ–ストークス：時間変化 $\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}$ に対して、速度場が決まる
→ どちらも「時間とともに状態が変化する偏微分方程式」という共通点がある
3. 確率過程と流体の運動
- Black-Scholes 方程式は、ウィーナー過程（ランダムな価格変動）に基づく拡散モデル
- ナビエ–ストークス方程式の乱流モデリングも、確率的手法（RANS, LES, DNS など）を利用
市場のボラティリティと流体の乱流は、確率的に変動するシステムとして扱われる
違いと補完関係
| 項目 | Black-Scholes | ナビエ–ストークス |
|---|---|---|
| 線形性 | 線形 PDE | 非線形 PDE |
| 非定常性 | 時間変化するが、株価の移流（移動）項はない | 速度場の非定常流れあり |
| 解の性質 | ヨーロピアンオプションなら解析解がある | ほとんどの場合、数値解のみ |
| 応用範囲 | 金融工学（オプション価格） | 流体力学（流れの解析） |
- Black-Scholes は線形 PDE であり、解析解が求まることが多い（例：ヨーロピアンオプション）
-
ナビエ–ストークスは非線形 PDE であり、ほとんどの場合、数値解析が必要
→ ただし、Black-Scholes の数値解法（有限差分法、モンテカルロ法）は CFD の数値手法と共通する
Summary
✅ 共通点
- 時間発展型の偏微分方程式（PDE）
- 拡散項があり、情報が「拡散」するモデル
- 数値解析手法（有限差分法、モンテカルロ法など）が活用可能
- 確率過程の考え方が適用可能（金融ではボラティリティ、流体では乱流）
✅ 違い
- Black-Scholes は 線形 PDE、ナビエ–ストークスは 非線形 PDE
- Black-Scholes は 金融市場の価格変動を記述、ナビエ–ストークスは 流体の運動を記述
✅ 応用の可能性
| 金融工学 ⇨ 流体力学 | 流体力学 ⇨ 金融工学 |
|---|---|
| モンテカルロシミュレーションの高度な最適化 | ナビエ–ストークス方程式の数値解法技術を金融リスクモデルに応用 |
| 確率過程と時間発展モデルの応用 | 乱流モデリングのデータ駆動手法を市場データ解析に応用 |
| 金融時系列解析の手法（ARIMA, GARCH） | 流体力学の並列計算手法をアルゴリズム取引の高速計算に適用 |
| デリバティブ価格計算の PDE ソルバー | 数値流体力学の可視化技術をマーケットデータ分析に活用 |
| 最適化理論（ポートフォリオ最適化） | 流体力学の形状最適化を金融ポートフォリオの最適設計に応用 |