線形PDE（Linear PDE）
定義：
PDE が 線形 であるとは、未知関数とその偏導関数が 1次の線形結合 の形をしていることを意味します。つまり、未知関数やその導関数が 掛け算 されたり、べき乗 になったりしない場合です。
一般形（線形PDE の例）
a(x,t) \frac{\partial u}{\partial x} + b(x,t) \frac{\partial u}{\partial t} + c(x,t) u = f(x,t)
ここで、$ u(x,t) $ は未知関数であり、係数 $ a(x,t), b(x,t), c(x,t) $ は $ u $ に依存しません。
代表的な線形PDE：
1. 熱方程式（Heat Equation）
\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}
→ 温度の時間変化を記述するPDE（拡散現象を表す）
2. 波動方程式（Wave Equation）
\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}
→ 振動や波の伝播を記述するPDE
3. ラプラス方程式（Laplace Equation）
\nabla^2 u = 0
→ 静的な場の分布（例：電位、温度、圧力など）を記述するPDE
非線形PDE（Nonlinear PDE）
定義：
PDE が 非線形 である場合、未知関数やその偏導関数が 累乗 されたり、掛け算 されたりします。つまり、未知関数やその導関数が 非線形な形 をしているときです。
一般形（非線形PDE の例）：
\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} = 0
この場合、$ u $ の1次導関数が $ u $ に掛け算されているため、非線形PDE になります。
代表的な非線形PDE
1. バーガーズ方程式（Burgers' Equation）
\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} = \nu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}
→ 交通流、衝撃波、流体力学の簡略化モデルとして使用
2. ナビエ–ストークス方程式（Navier-Stokes Equations）
\rho \left( \frac{\partial u}{\partial t} + (u \cdot \nabla) u \right) = - \nabla p + \mu \nabla^2 u + f
→ 流体の運動を記述（対流項 $( (u \cdot \nabla) u )$ が非線形）
3. ブラック–ショールズ方程式（Black-Scholes Equation, 線形だが非線形拡張あり）
基本形は線形だが、ボラティリティが資産価格に依存する場合など、拡張すると非線形PDE になる。
線形PDE と 非線形PDE の違い
| 特徴 | 線形PDE | 非線形PDE |
|---|---|---|
| 未知関数の性質 | 1次の線形結合のみ | べき乗や掛け算が含まれる |
| 解の振る舞い | 重ね合わせの原理が成り立つ | 非線形相互作用が発生 |
| 数値解析の難しさ | 解きやすい | 解が複雑になり、特異点・カオスが発生しやすい |
| 例 | 熱方程式、波動方程式、ラプラス方程式 | ナビエ–ストークス方程式、バーガーズ方程式 |
まとめ
- 線形PDE は 解析的に解きやすい ことが多く、重ね合わせの原理 が成り立つ。
- 非線形PDE は 相互作用やカオス的な振る舞い があり、数値解析が難しい。
- 金融工学・物理・流体力学など、実世界の問題は非線形PDEを含むことが多い（例：ナビエ–ストークス方程式、ブラック–ショールズの非線形拡張）。
