Introduction

金融工学と流体力学で用いられる方程式は、利用目的は異なりますが、数理的な構造には類似点があります。
それぞれの分野で用いられる代表的な方程式を例に挙げ、類似性について解説しいます。

代表的な方程式の概要

目的：オプション価格の変動を記述する微分方程式

\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + r S \frac{\partial V}{\partial S} - r V = 0

目的：粘性流体の運動を記述する非線形偏微分方程式

運動量保存則（単純化した形）：

\rho \left( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} \right) = - \nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{u} + \mathbf{f}

特徴	Black-Scholes 方程式	ナビエ–ストークス方程式
未知関数	オプション価格 $V(S,t)$	流速ベクトル $\mathbf{u}(x,t)$
時間発展項	$\frac{\partial V}{\partial t}$ （時間による変化）	$\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}$
拡散項（拡がり）	$\frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2}$	$\mu \nabla^2 \mathbf{u}$
流れの影響	株価変動の影響 $S \frac{\partial V}{\partial S}$	流体の移流項 $(\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u}$
非線形性	なし（線形 PDE）	あり（対流項が非線形）
境界条件	端点でのオプション価格（ペイオフ関数）	流れの境界条件（壁面・流入・流出）

Black-Scholes 方程式では、オプション価格の変動（ボラティリティ）によるリスクが「拡散」する

\frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2}

ナビエ–ストークス方程式では、粘性（拡散効果）が速度場を滑らかにする

\mu \nabla^2 u

Black-Scholes：時間変化 $\frac{\partial V}{\partial t}$ に対して、オプション価格が決まる
ナビエ–ストークス：時間変化 $\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}$ に対して、速度場が決まる
→ どちらも「時間とともに状態が変化する偏微分方程式」という共通点がある

市場のボラティリティと流体の乱流は、確率的に変動するシステムとして扱われる

Black-Scholes は線形 PDE であり、解析解が求まることが多い（例：ヨーロピアンオプション）
ナビエ–ストークスは非線形 PDE であり、ほとんどの場合、数値解析が必要
→ ただし、Black-Scholes の数値解法（有限差分法、モンテカルロ法）は CFD の数値手法と共通する

✅ 共通点

✅ 違い

✅ 応用の可能性

金融工学 ⇨ 流体力学	流体力学 ⇨ 金融工学
モンテカルロシミュレーションの高度な最適化	ナビエ–ストークス方程式の数値解法技術を金融リスクモデルに応用
確率過程と時間発展モデルの応用	乱流モデリングのデータ駆動手法を市場データ解析に応用
金融時系列解析の手法（ARIMA, GARCH）	流体力学の並列計算手法をアルゴリズム取引の高速計算に適用
デリバティブ価格計算の PDE ソルバー	数値流体力学の可視化技術をマーケットデータ分析に活用
最適化理論（ポートフォリオ最適化）	流体力学の形状最適化を金融ポートフォリオの最適設計に応用