信頼区間推定における各分布の使用判断フロー
標準正規分布（母分散が既知／大標本・正規母集団想定）
数式・性質
| 項目 | 内容 |
|---|---|
| 標本平均（$\bar X$） | 母集団平均を $\mu$、母集団標準偏差を $\sigma$ とすると、標本サイズ $n$ の標本の平均値 $\bar X$ は分布 $N\left(\mu,; \displaystyle \frac{\sigma^2}{n}\right)$ に従う。 |
| 標本分散（母分散既知の場合） | 母集団分散 $\sigma^2$ が既知なので、標本分散は分散の推定を必要とせず、標本平均の分散は $\displaystyle \frac{\sigma^2}{n}$。 |
信頼区間推定における Z の使用
| ステップ | 内容 |
|---|---|
| 1 | 正規母集団・母分散既知、またはサンプル数が十分大きく中心極限定理が使えるときに適用。 |
| 2 | 標準化変数 $Z$ を使う： $Z = \frac{\bar X - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$ |
| 3 | 信頼度 $(1-\alpha)$ の両側区間を構築： $P\left(-z_{\alpha/2} \le Z \le z_{\alpha/2}\right) = 1 - \alpha$ |
| 4 | 信頼区間は： $\bar X \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ |
t 分布（母分散未知・正規母集団／小標本）
数式・性質
| 項目 | 内容 |
|---|---|
| 標本平均 $\bar X$ | 正規母集団からの標本で、平均 $\mu$、分散不明。標本平均は母平均 $\mu$ のまわりに分布するが、分散は未知分散の推定を利用。 |
| 標本分散 $S^2$（不偏分散） | $S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar X)^2$ 母分散未知のときに使用。 |
信頼区間推定における T の使用
| ステップ | 内容 |
|---|---|
| 1 | 正規母集団・母分散未知、小標本で適用。 |
| 2 | $T = \frac{\bar X - \mu}{S / \sqrt{n}}$ は自由度 $n-1$ の t 分布に従う。 |
| 3 | 信頼度 $(1-\alpha)$ の両側区間： $P\left(-t_{n-1,;\alpha/2} \le T \le t_{n-1,;\alpha/2}\right) = 1 - \alpha$ |
| 4 | 信頼区間は： $\bar X \pm t_{n-1,;\alpha/2} \frac{S}{\sqrt{n}}$ |
二項分布／母比率（成功確率 $p$ の推定）
数式・性質
| 項目 | 内容 |
|---|---|
| 標本比率（$\hat p$） | $\hat p = \frac{X}{n}$ （二値データの標本平均そのもの） |
| 分散（母比率を用いた） | $Var(\hat p) = \frac{p(1-p)}{n}$（実務では $\hat p$ で近似）。 |
信頼区間推定における Z の使用（正規近似）
| ステップ | 内容 |
|---|---|
| 1 | $np, ; n(1-p)$ が十分大きいとき、正規近似可能。 |
| 2 | $Z = \frac{\hat p - p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}$ |
| 3 | 信頼度 $(1-\alpha)$ の両側区間： $P\left(-z_{\alpha/2} \le Z \le z_{\alpha/2}\right) = 1 - \alpha$ |
| 4 | 信頼区間は： $\hat p \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat p (1-\hat p)}{n}}$ |
共通・補足
- 標本平均・標本比率は 母平均の推定量、標本分散は 母分散の推定量。
- 標本分散は不偏分散（$n-1$ で割る形）を使うのが一般的。
- 信頼区間は「母数が含まれる確率」ではなく「多数の標本から作成した区間のうち母数を含む割合」。