[Statistics] F分布とは（正規分布・t分布との関係、カイ2乗分布との関係、等分散仮説の検定）

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Posted at 2025-09-21

概要

カイ2乗分布（χ²分布）は、統計学において 母分散の推定や検定、適合度検定、独立性の検定 に広く使われる分布です。
また、正規分布・t分布・F分布 と密接な関係を持ちます。

正規分布との関係：標準正規分布の2乗和がχ²分布に従う
t分布との関係：標準正規分布とχ²分布の比から導出
F分布との関係：2つのχ²分布を自由度で割った比がF分布

仮説検定における各分布の使用判断フロー

数式と定義

カイ2乗分布の定義

標準正規分布 $Z \sim N(0,1)$ の二乗和を考えると：

$$
Q = Z_1^2 + Z_2^2 + \cdots + Z_k^2
$$

このとき、

$$
Q \sim \chi^2(k)
$$

となり、これを自由度 $k$ のカイ2乗分布といいます。

母分散の推定と検定

1. 母分散既知の場合

$$
Q = \frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n)
$$

2. 母分散未知の場合（標本分散）

$$
Q = \frac{(n-1)s^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)
$$

自由度が $n-1$ になる理由：標本平均 $\bar{X}$ を推定に使ったため。

F分布との関係

カイ2乗分布の比から F分布 が導かれます：

$$
F = \frac{(Q_1/k_1)}{(Q_2/k_2)} \sim F(k_1, k_2)
$$

ここで

$Q_1 \sim \chi^2(k_1)$
$Q_2 \sim \chi^2(k_2)$

問題例

問題 1. F分布を用いた確率計算

自由度 $(k_1, k_2) = (7, 5)$ の F分布 $F(7,5)$ において、

上側5%点を求めよ。
下側5%点を求めよ。

解法

設定
F分布の自由度は $df_1 = 7, df_2 = 5$。
求めたいのは

$$
P(F > F_{0.05}) \quad \text{および} \quad P(F < F_{0.05})
$$
上側5%点をF分布表で確認

自由度 (7,5) 上側 5%点 ($F_{0.05}$) 上側 1%点 ($F_{0.01}$)

F(7,5) 5.70 12.53
- よって、上側5%点は 5.70。
下側5%点を計算
F分布の性質より、下側5%点は逆数を利用して計算できる：

$$
F_{0.95}(7,5) = \frac{1}{F_{0.05}(5,7)}
$$
- F分布表より $F_{0.05}(5,7) \approx 5.70$
- よって下側5%点は
  
  $$
  F_{0.95}(7,5) \approx \frac{1}{5.70} \approx 0.175
  $$
解釈
- 上側5%点: $F > 5.70 \implies P \approx 0.05$
- 下側5%点: $F < 0.175 \implies P \approx 0.05$
自由度 $(7,5)$ の F分布における上側・下側5%点はそれぞれ 5.70 と 0.175 である。

自由度 (7,5)	上側 5%点 ($F_{0.05}$)	上側 1%点 ($F_{0.01}$)
F(7,5)	5.70	12.53

問題 2. 等分散性の検定

2つの独立標本 $X_1, X_2$ の母分散が等しいかを検定する。

標本分散が以下のとき：

$s_1^2 = 25, ; n_1 = 16$
$s_2^2 = 16, ; n_2 = 21$

有意水準 5% で、分散に差があるか検定せよ。

解法

検定統計量を計算：

標本分散 $s_1^2, s_2^2$ から得られるカイ二乗統計量は

$$
Q_1 = \frac{(n_1-1)s_1^2}{\sigma_1^2} \sim \chi^2(n_1-1), \quad
Q_2 = \frac{(n_2-1)s_2^2}{\sigma_2^2} \sim \chi^2(n_2-1)
$$

です。

帰無仮説 $H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2$ の下では、$\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma^2$ と置けます。
すると F統計量は

$$
F = \frac{Q_1/(n_1-1)}{Q_2/(n_2-1)}
= \frac{\frac{(n_1-1)s_1^2}{\sigma^2}/(n_1-1)}{\frac{(n_2-1)s_2^2}{\sigma^2}/(n_2-1)}
= \frac{s_1^2}{s_2^2}= \frac{25}{16} = 1.5625
$$
自由度を設定：
- 分子側：$n_1 - 1 = 15$
- 分母側：$n_2 - 1 = 20$
よって、

$$
F \sim F(15,20)
$$
検定範囲の確認：
- 検定の目的は「母分散が等しいかどうか」を確認する：
  
  $$
  H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2 \quad \text{vs} \quad H_1: \sigma_1^2 \ne \sigma_2^2
  $$
- どちらの分散が大きいかは問題ではなく、単に差があるかどうかを検定したいため、両側検定となる。
棄却域を確認（両側検定, 有意水準 5%）：
- 上側棄却点：$F_{0.975}(15,20) \approx 2.54$
- 下側棄却点：$F_{0.025}(15,20) \approx 0.39$
実際の統計量 $F = 1.56$ は 棄却域に含まれない。
帰無仮説 $H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2$ を棄却できない。

参考リンク

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[Statistics] F分布 とは（正規分布・t分布との関係、カイ2乗分布との関係、等分散仮説の検定）

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