【1】確率の基本法則
加法定理
$$
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)
$$
条件付き確率
$$
P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}
$$
独立性
$$
P(A\cap B)=P(A)P(B)
$$
排反性
$$
P(A \cap B) = 0
$$
ベイズの定理
$$
P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}
$$
【2】確率変数の期待値・分散・共分散
期待値（線形性）
$$
E(aX+bY+c)=aE(X)+bE(Y)+c
$$
$$
E(XY) = E(X)E(Y)（独立なとき）
$$
$$
E(X) = 0（標準化済みなとき）
$$
分散
$$
V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \mathrm{Cov}(X,X)
$$
$$
V(aX+b)=a^2V(X)
$$
$$
V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2Cov(X,Y)
$$
$$
V(X-Y)=V(X)+V(Y)-2Cov(X,Y)
$$
$$
V(X) = 1（標準化済みなとき）
$$
共分散
$$
Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)
$$
$$
Cov(X,X) = E(X^2) - (E(X))^2 = V(X)
$$
$$
Cov(aX, bY) = ab * Cov(X, Y)
$$
$$
Cov(aX + bY, cX - dY) = Cov(aX, cX) - Cov(aX, dY) + Cov(bY, cX) - Cov(bY, dY)
$$
$$
= acV(X) - adCov(X, Y) + bcCov(X, Y) - bdV(Y)
$$
$$
Cov(aX+b,cY-d)=ac * Cov(X,Y)
$$
$$
Cov(X, Y) = 0（独立なとき）
$$
相関係数
$$
\rho(X, Y) = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{V(X)}\sqrt{V(Y)}}
$$
$$
\rho(aX, bY) = \frac{ab}{|a||b|} * \rho(X, Y)
$$
$$
\rho(X, Y) = 0（独立なとき）
$$
【3】代表的分布
| 分布 | 確率関数・密度関数の形 | 期待値 | 分散 |
|---|---|---|---|
| 二項分布 | $ P(X=x)=\binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x} $ | $np$ | $np(1-p)$ |
| ポアソン分布 | $ P(X=x)=\dfrac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!} $ | $\lambda$ | $\lambda$ |
| 正規分布 | $ f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $\mu$ | $\sigma^2$ |
| 一様分布 | $ f(x)=\dfrac{1}{b-a}\quad(a\le x\le b) $ | $\dfrac{a+b}{2}$ | $\dfrac{(b-a)^2}{12}$ |
| 指数分布 | $ f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\quad(x\ge0) $ | $\dfrac{1}{\lambda}$ | $\dfrac{1}{\lambda^2}$ |
| 幾何分布 | $ P(X=x)=p(1-p)^{x-1}\quad(x=1,2,\dots) $ | $\dfrac{1}{p}$ | $\dfrac{1-p}{p^2}$ |
【4】確率変数の暗記
$$
Cov(X,Y) = E[XY] − E[X]E[Y]
$$
$$
Var(X) = E[X²] − (E[X])²
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$$
Var(aX+b) = a²Var(X)
$$
$$
Cov(aX+b, cY+d) = ac·Cov(X,Y)
$$
$$
Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y)
$$
$$
Var(X−Y) = Var(X) + Var(Y) − 2Cov(X,Y)
$$
$$
ρ(aX,bY) = sign(ab)·ρ(X,Y)
$$